Метод конечных разностей, или метод сеток

Рассмотрим линейную краевую задачу

   (2.24)

    (2.25)

,

где , , и  непрерывны на [a, b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей длины, или шага

 

.

Точки разбиения

 

, 

называются узлами, а их совокупность – сеткой на отрезке [a, b]. Значения в узлах искомой функции  и ее производных   обозначим соответственно через

.

Введем обозначения

Заменим производные так называемыми односторонними конечно-разностными отношениями:

(2.26)

Формулы (2.26) приближенно выражают значения производных во внутренних точках интервала [a, b].

Для граничных точек положим

.    (2.27)

Используя формулы (2.26), дифференциальное уравнение (2.24) при , (i=1, 2,..., n–1) приближенно можно заменить линейной системой уравнений

  (2.28)

Кроме того, в силу формул (2.27) краевые условия (2.25) дополнительно дают еще два уравнения:

.  (2.29)

Таким образом, получена линейная система n+1 уравнений с n+1 неизвестными , представляющими собой значения искомой функции  в узлах сетки. Система уравнений (2.28), (2.29), заменяющая приближенно дифференциальную краевую задачу (2.24), (2.25) обычно называется разностной схемой. Решить эту систему можно каким-либо общим численным методом. Однако схема (2.28), (2.29) имеет специфический вид и ее можно эффективно решить специальным методом, называемым методом прогонки. Специфичность системы заключается в том, что уравнения ее содержат три соседних неизвестных и матрица этой системы является трехдиагональной.

Преобразуем уравнения (2.28):

. (2.30)

Введя обозначения

получим

, (i=0, 1,..., n-2). (2.31)

Краевые условия по-прежнему запишем в виде

. (2.32)

Метод прогонки состоит в следующем.

Разрешим уравнение (2.31) относительно :

.   (2.33)

Предположим, что с помощью полной системы (2.31) из уравнения исключен член, содержащий. Тогда уравнение (2.33) может быть записано в виде

,    (2.34)

где  и  должны быть определены. Найдем формулы для этих коэффициентов. При i=0 из формулы (2.33) и краевых условий (2.32) следует, что

Исключая из этих двух уравнений , найдем

.

Выразим теперь отсюда :

 (2.35)

Но, согласно формуле (2.34),

     (2.36)

Сравнивая теперь (2.35) и (2.36), найдем, что

   (2.37)

Пусть теперь i >0, то есть i=1, 2,..., n–2. Выражая  по формуле (2.34), получим:

 

.

Подставляя это в формулу (2.33), будем иметь

.

Разрешая полученное уравнение относительно, находим

, или

.  (2.38)

Отсюда, сравнивая формулы (2.34) и (2.38), получаем для коэффициентов  и  рекуррентные формулы:

    (2.39)

Так как  и  уже определены по формулам (2.37), то, используя формулы (2.39), можно последовательно определить коэффициенты  и  до  и  включительно. Эти вычисления называются прямым ходом метода прогонки.

Из формулы (2.33) при i=n–2 и второго краевого условия (2.32) получаем

Разрешая эту систему относительно, будем иметь

.    (2.40)

Теперь, используя (2.34) и первое краевое условие (2.32), мы можем последовательно найти . Это − обратный ход метода прогонки.

Итак, получаем следующую цепочку:

    (2.41)

Для простейших краевых условий 

формулы для  и  упрощаются. Полагая в этом случае из формул (2.37), (2.40), (2.41) будем иметь

Рассмотренный нами подход сводит линейную краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений. ............