Міністерство освіти і науки України
ФАКУЛЬТЕТ ІНФОРМАТИКИ
КАФЕДРА ІНФОРМАЦІЙНИХ УПРАВЛЯЮЧИХ СИСТЕМ ТА ТЕХНОЛОГІЙ
Реєстраційний №________
Дата ___________________
КУРСОВА РОБОТА
Тема:
Метод наближеного обчислення коренів. Програма.
Рекомендована до захисту
“____” __________ 2008р.
Робота захищена
“____” __________ 2008р.
з оцінкою
_____________________
Підписи членів комісії
Зміст
Вступ
Теоретична частина
1. Межі дійсних коренів
2. Число дійсних коренів
Практична частина
1. Опис програми
2. Текст програми
Контрольні приклади
Висновок
Література
Вступ
Не існує методу для пошуку точних значень многочленів з числовими коефіцієнтами. Адже, деякі проблеми механіки, фізики і інших галузей техніки зводиться до питання про корені многочленів, іноді досить високим степенем. Ця обставина з’явилася приводом для численних досліджень, що мали метою навчитися робити ті чи інші висловлення про корені многочлена з числовими коефіцієнтами, не знаючи цих коренів. Для многочленів з дійсними коефіцієнтами розроблялися методи визначення числа їхніх дійсних коренів, шукалися границі, між якими ці корені можуть знаходитися. Нарешті, багато досліджень було присвячено методам наближеного обчислення коренів: у технічних додатках звичайно досить знати лише наближені значення коренів з деякою заздалегідь точністю і якби, наприклад, корені многочлена записувалися в раидикалах, ці радикали все рівно були б замінені їх наближеними значеннями.
Теоретична частина
1. Межі дійсних коренів
Щоб знайти корені рівняння з достатнім степенем точності, треба знати, як ці корені розміщені на комплексній площині або на дійсній осі. Заважимо, що іноді навіть немає потреби знаходити числові значення коренів, а досить лише з‘ясувати їх розміщення на площині (число дійсних, зокрема, додатних від‘ємних коренів тощо). Наприклад, одна з важливих проблем механіки – теорія стійкості – потребує з‘ясування умов, при яких усі корені даного алгебраїчного рівняння мають від‘ємні дійсні частини.
Зробимо два зауваження щодо комплексних коренів многочленів.
Зауваження 1. Усі корені многочлена лежать у середині круга з центром у точці 0 і радіусом
(1)
Зауваження 2. Комплексні корені многочлена з дійсними коефіцієнтами розміщені симетрично відносно дійсної осі.
Переходячи тепер до розгляду дійсних коренів многочленів з дійсними коефіцієнтами, будемо знову позначати змінне буквою x, а не z.
З наведеного зауваження 1 дістаємо таке твердження:
Теорема. Усі дійсні корені рівняння міститься в інтервалі , де
, .
Справді, всі комплексні корені лежать у крузі , а тому, якщо серед них є дійсні корені, то вони повинні потрапити в зазначений інтервал.
Теорему 1 часто називають теоремою про межі коренів рівняння. Є чимало способів, які дають змогу з більшою точністю встановлювати межі дійних коренів алгебраїчних рівнянь. Розглянемо один з них, так званий спосіб Ньютона.
Зробимо деякі зауваження.
Число , визначене за теоремою 1, дає одночасно верхню межу додатних коренів многочлена і нижню межу його від’ємних коренів, бо вказує інтервал , в якому лежать усі дійсні корені, якщо вони існують. ............
