МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ЭКОНОМЕТРИКА»

2007

Задания к контрольной работе:

 

1. Метод наименьших квадратов для однофакторной линейной регрессии

2. Найти коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке X. Сделать экономический анализ.

Модель: Y = (2/X) + 5; X = 0;

3. Убыточность выращивания овощей в сельскохозяйственных предприятиях и уровни факторов (сбор овощей с 1 га, ц и затраты труда, человеко-часов на 1 ц), ее формирующих, характеризуются следующими данными за год: № района Фактор Уровень убыточности, % Сбор овощей с 1 га, ц Затраты труда, человеко-часов на 1 ц 1 93,2 2,3 8,8 2 65,9 26,8 39,4 3 44,6 22,8 26,2 4 18,7 56,6 78,8 5 64,6 16,4 34 6 25,6 26,5 47,6 7 47,2 26 43,7 8 48,2 12,4 23,6 9 64,1 10 19,9 10 30,3 41,7 50 11 28,4 47,9 63,1 12 47,8 32,4 44,2 13 101,3 20,2 11,2 14 31,4 39,6 52,8 15 67,6 18,4 20,2

Нелинейную зависимость принять

1. Метод наименьших квадратов для однофакторной линейной регрессии

Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике в виде четкой эконометрической интерпретации ее параметров. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида:

Ŷ = а + bx или Ŷ = a + bx + ε;

Уравнение вида Ŷ = а + bx позволяет по заданным значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора X. На графике теоретические значения представляют линию регрессии.

    
    
    

    
      

Рисунок 1 – Графическая оценка параметров линейной регрессии

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – а и b. Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами. Можно обратится к полю корреляции и, выбрав на графике две точки, провести через них прямую линию. Далее по графику можно определить значения параметров. Параметр a определим как точку пересечения линии регрессии с осью OY, а параметр b оценим, исходя из угла наклона линии регрессии, как dy/dx, где dy – приращение результата y, а dx – приращение фактора x, т.е. Ŷ = а + bx.

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов(МНК).

МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (y) от расчетных (теоретических) минимальна:

∑(Yi – Ŷ xi)2 → min

Иными словами, из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной.

εi = Yi – Ŷ xi.

следовательно ∑εi2 → min

    
    
    

    
      

    
    
    

    
       Рисунок 2 – Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков

Чтобы найти минимум функции, надо вычислить частные производные по каждому из параметров a и b и приравнять их к нулю.

Обозначим ∑εi2 через S, тогда

S = ∑ (Y –Ŷ xi)2 =∑(Y-a-bx)2;

Дифференцируем данное выражение, решаем систему нормальных уравнений, получаем следующую формулу расчета оценки параметра b:

b = (ух – у•x)/(x2-x2).

Параметр b называется коэффициентом регрессии. ............