Методы коллокаций и Галеркина

 

Метод коллокаций

Пусть необходимо определить функцию, удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению

        (2.50)

и линейными краевыми условиями

,             (2.51)

причем

Выберем некоторую совокупность линейно независимых функций

               (2.52)

которую назовем системой базисных функций.

Пусть функция  удовлетворяет неоднородным краевым условиям

              (2.53)

а остальные функции удовлетворяют соответствующим однородным краевым условиям:

.        (2.54)

Если краевые условия (2.51) однородны (A=B=0), то можно положить  и рассматривать лишь систему функций .

Будем искать приближенное решение краевой задачи (2.50), (2.51) в виде линейной комбинации базисных функций

.               (2.55)

Тогда функция y удовлетворяет краевым условиям (2.51). В самом деле, в силу линейности краевых условий имеем

и аналогично

Составим функцию . Подставляя сюда вместо y выражение (2.55), будем иметь

.(2.56)

Если при некотором выборе коэффициентов ci выполнено равенство

 при

то функция y является точным решением краевой задачи (2.50), (2.51). Однако подобрать так удачно функции  и коэффициенты ci в общем случае не удается. Поэтому ограничиваются тем, что требуют, чтобы функция  обращалась в нуль в заданной системе точек  из интервала [a, b], которые называются точками коллокации. Сама функция R называетсяневязкой уравнения (2.50). Очевидно, что в точках коллокации дифференциальное уравнение (2.50) будет удовлетворено точно, и невязка в этих точках равна нулю.

Итак, метод коллокации приводит к системе линейных уравнений

.                (2.57)

Из системы (2.57) в случае ее совместности можно определить коэффициенты , после чего приближенное решение краевой задачи дается формулой (2.55).

 

Пример. Методом коллокации и методом сеток решить краевую задачу

                (2.58)

1. Метод коллокаций.

В качестве базисных функций выберем полиномы

.

Эти полиномы удовлетворяют краевым условиям:  За точки коллокации возьмем следующие абсциссы:

 

Ограничиваясь двумя базисными функциями, положим

Найдем функцию 

         (2.59)

В точках коллокации  получим

 

.

Подставляя сюда (2.59), найдем

                  (2.60)

Решив эту систему, определим коэффициенты :

=0.957, =− 0.022.

Следовательно, приближенное решение будет иметь вид

 

.

Например, при x=0 получим y(0)=0.957.

2. Метод сеток.

Для грубого решения выбираем шаг h=1/2 (см. рис. 2).

 

Рис. 2. Иллюстрация к методу сеток

Полагая , ввиду симметрии уравнения и краевых условий, будем иметь:

                (2.61)

Таким образом, нужно определить лишь две ординаты y0 и . Полагая x=0 и пользуясь симметричными формулами для производных

,

получим:

 

Аналогично, при x=1/2, то есть при i=1, получаем

Учитывая теперь (2.61), найдем систему

 

Решая эту систему, отыщем y0=0.967, y1=0.721. Итак, сравним: метод коллокации дает y0=0.957, а метод сеток y0=0.967.

Метод Галеркина

Пусть дано дифференциальное уравнение с линейными краевыми условиями

,                  (2.62)

            (2.63)

Будем искать приближенное решение этой краевой задачи в виде суммы

 

             (2.64)

где  – некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неоднородным краевым условиям (2.63), а  – какая-то система линейно независимых функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям

              (2.65)

и, кроме того функции при  образуют в классе функций c2[a, b], удовлетворяющих условиям (2.65), полную систему.

Заметим, что свойство полноты понимается следующим образом.

Обозначим через G класс функций y(x), принадлежащих c2[a, b] (то есть дважды непрерывно дифференцируемых на [a, b]) и удовлетворяющих граничным условиям (2.65). ............