Модель авторегрессии в корреляционной теории

1. Принципы построения модели авторегрессии

В основу модели АР положена корреляция отсчета случайного процесса в текущий момент времени с некоторым конечным или бесконечным числом отсчетов в предыдущие моменты времени. Корреляционные связи позволяют осуществить регрессию текущего отсчета на предшествующие отсчеты.

Такой вид регрессии называется авторегрессией. В уравнении АР текущий отсчет представляется взвешенной суммой предыдущих с некоторыми коэффициентами веса

, (1)

где - коэффициенты АР, - некоррелированные случайные отсчеты, - порядок модели АР.

Величина

, (2)

называется предсказанием случайной величины . Разность между текущим значением отсчета и его предсказанием называется ошибкой предсказания

. (3)

Величина  характеризует, по существу, максимальную точность предсказания текущего отсчета, а ее статистические свойства определяют выбор порядка модели АР.

Из (1) видно, что построение АР модели случайного процесса сводится к нахождению коэффициентов АР и определению порядка .

Умножив правую и левую части (1) на , а затем усреднив, можно получить систему  уравнений

, , (4a)

, (4б)

где - значения функции корреляции случайного процесса

- дисперсия ошибок предсказания модели АР, - дисперсия случайного процесса . Набор уравнений (4а) и (4б) называется полной системой уравнений Юла – Уокера.

Решением этой системы являются коэффициенты АР и дисперсия ошибок предсказания. При выводе уравнений (4а) было учтено, что

, , , (5a)

, , . (5б)

Соотношения (5) следуют из некоррелированности ошибок предсказания . Решение системы уравнений (4а) можно представить в матричном виде

, (6a)

где

,,. (6б)

Как видно из (4а), уравнение не изменится, если вместо  использовать нормированные значения функции корреляции , которые называются коэффициентами корреляции. Очевидно, что при этом параметры модели АР останутся прежними.

Как следует из (6а, б), для первого порядка модели АР

. (7)

Для модели АР второго порядка коэффициенты АР равны

,

. (8)

Отметим важное свойство коэффициентов АР, на котором основано использование моделей предсказания в качестве обеляющих фильтров. Коэффициенты АР, рассчитанные с помощью уравнений Юла-Уокера (4а) минимизируют дисперсию ошибки предсказания

. (9)

В этом легко убедиться, продифференцировав (9) по , и приравняв производную к нулю. При этом полученная система уравнений совпадает с (4а).

Достоинством модели АР является ее конструктивность, заключающаяся в возможности синтеза довольно простым образом алгоритмов обработки случайных процессов.

На рис. 1 представлен АР фильтр предсказания (обеляющий фильтр), алгоритм действия которого описывается выражением (3). Он состоит из линий задержки, усилителей с коэффициентами усиления ,и сумматора.

Ошибки предсказания на выходе этого фильтра будут отсчетами белого шума, а точнее некоррелированным процессом. Дисперсия ошибки предсказания на выходе фильтра будет иметь минимальное значение, если коэффициенты АР найдены из уравнения (4а).

Порядок процесса АР определяется с использованием различных критериев, как правило, основанных на минимизации некоторой теоретико-информационной функции. ............