СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Постановка задачи
2. Математические и алгоритмические основы решения задачи
2.1 Описание метода
2.2 Геометрическая интерпретация
3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи
4. Программная реализация решения задачи
5. Пример выполнения программы
Заключение
Список использованных источников и литературы
ВВЕДЕНИЕ
Методы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще древним грекам. Решение уравнений третьей и четвертой степеней были получены усилиями итальянских математиков Ш. Ферро, Н. Тартальи, Дж. Картано, Л. Феррари в эпоху Возрождения. Затем наступила пора поиска формул для нахождения корней уравнений пятой и более высоких степеней. Настойчивые, но безрезультатные попытки продолжались около 300 лет и завершились благодаря работам норвежского математика Н. Абеля. Он доказал, что общее уравне6ие пятой и более высоких степеней неразрешимы в радикалах. Решение общего уравнения n-ой степени
a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0, a0¹0
при n³5 нельзя выразить через коэффициенты с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.
Для неалгебраических уравнений типа
х–cos(x)=0
задача еще более усложняется. В этом случае найти для корней явные выражения, за редким случаем не удается.
В условиях, когда формулы "не работают", когда рассчитывать на них можно только в самых простейших случаях, особое значение приобретают универсальные вычислительные алгоритмы. Известен целый ряд алгоритмов, позволяющих решить рассматриваемую задачу.
Если записать уравнение в виде
f(x) =0,
то для применения этих алгоритмов нет необходимости накладывать какие-либо ограничения на функцию f(x), а предполагается только что она обладает некоторыми свойствами типа непрерывности, дифференцируемости и т.д.
Это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции.
Целью данной курсовой работы является Лисп – реализация нахождения корней уравнения методом простой итерации.
1. Постановка задачи
Дано уравнение:
.
Требуется решить это уравнение, точнее, найти один из его корней (предполагается, что корень существует). Предполагается, что F(X) непрерывна на отрезке [A;B].
Входным параметром алгоритма, кроме функции F(X), является также начальное приближение - некоторое X0, от которого алгоритм начинает идти.
Пример.
Найдем корень уравнения
.
Рисунок 1. Функция
Будем искать простой корень уравнения, находящийся на отрезке локализации [-0.4,0].
Приведем уравнение к виду x=f(x), где
.
Проверим условие сходимости:
.
Рисунок 2. График производной
Максимальное по модулю значение производной итерационной функции достигается в левом конце отрезка
.
.
Выполним 3 итерации по расчетной формуле
x= (x),
1 итерация .
2 итерация .
3 итерация .
2. Математические и алгоритмические основы решения задачи
2.1 Описание метода простых итераций
Рассмотрим уравнение
f(x)=0 (2.1)
с отделенным корнем X[a, b]. Для решения уравнения (2.1) методом простой итерации приведем его к равносильному виду:
x=φ(x). (2.2)
Это всегда можно сделать, причем многими способами. ............
