Неопределенные бинарные квадратичные формы Введение
    Основоположником теории квадратичных форм является французский математик Лагранж. Им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта.
    Начинается арифметическая теория квадратичных форм с утверждения Ферма о существовании простых чисел суммой двух квадратов.
    Теория квадратичных форм продолжала развиваться. Гаусс также вводит много новых понятий. Гауссу сумел получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел.
    В данной работе исследуются предварительные общие сведения о бинарных квадратичных формах. Приведено элементарное доказательство известной оценки для числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Здесь рассмотрены периоды неопределенных квадратичных форм, также решены два вопроса о двусторонних формах. Также приведены доказательства, что диагональные формы одного и того же положительного дискриминанта не эквивалентны.
    Предварительные сведения о бинарных квадратичных форм
    Определим общие понятия и свойства, которые прямым образом касаются бинарных квадратичных форм.
    Однородный многочлен второй степени от двух переменных называется бинарной квадратичной формой:
    (1)
    где -вещественные числа.
    Соответственно используемые коэффициенты в данной формуле - являются первым, вторым и третьим коэффициентами .
    Для наглядности эту формулу будем обозначать через , получим:
    
    В теории форм над кольцами и в первую очередь над кольцом целых чисел более предпочтительной является запись вида (1).
    В теории квадратичных форм над полями приведены формы, у которых второй коэффициент без множителя , т. е.:
    
    Если в бинарной квадратичной форме (1) коэффициенты являются целыми числами, тогда эту форму называют классической целой или целочисленной по Гауссу.
    В данной работе классические квадратичные формы будем называть численными.
    Если существует линейная подстановка переменных (2) с целыми коэффициентами и определителем , переводящая форму в форму , такая, что выполняется равенство
    , (3),
    тогда бинарные целочисленные квадратичные формы и называются собственно эквивалентными.
    Иначе, если целочисленная подстановка (2) с определителем переводит форму в форму , бинарные квадратичные формы называются несобственно-эквивалентными.
    Полученные эквивалентные формы обозначим следующим образом: ~
    Из (2) и (3) вытекают соотношения, связывающие коэффициенты двух эквивалентных форм и .
    (4)
    
    Эквивалентные бинарные квадратичные формы имеют один и тот же дискриминант, т.е. число бинарной квадратичной формы
    Предположим, что собственно или несобственно эквивалентна форме . Значит, опираясь на определение об эквивалентности, можно сказать, что есть такие целые числа с определителем , при которых выполняются соотношения (4). Отсюда следует:
    
    Эквивалентные бинарные квадратичные формы представляют одно и то же множество целых чисел. ............