План Вступление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1. О роли задач в обучении математике . . . . . . . . . 2 2. Как учит решать задачи современная школа? . . . . 4 3. Формулировка проблемы . . . . . . . . . . . . . . . 10 I. Как ученики реагируют на "аномальные" задачи (констатирующие эксперименты) . . . . . . . . . . . . . . 17 II. Обоснование целесообразности задач с "аномальным" условием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 III. Прикидка методического подхода к обучению решению "аномальных" задач . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 IV. Расширенная система задач по теме "Сумма углов треугольника" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
    
    Вступление
    
    1. О роли задач в обучении математике
    
    В обучении математике задачам всегда отводилась достаточно большая, если не решающая, роль.
    Сейчас всё большее распространение получает прогрессивный метод обучения через задачи как реализация системы проблемного обучения. Основные идеи этого метода находят в какой-то мере отражение в новых учебниках. Задачи становятся не только и не столько целью, сколько средством обучения.
    Исторически сложилось, что на ранних этапах развития математики решение задач было целью обучения. Ученик должен был заучить образцы и затем подводить под эти образцы решения задач. В основном решались типовые, стандартные задачи, принадлежащие классам алгоритмически разрешимых задач, т.е. таких, для которых существует общий метод (алгоритм) решения.
    Многообразные ситуации, возникающие на математическом и нематематическом материале, приводят как к стандартным, так и нестандартным задачам, алгоритм решения которых либо неизвестен, либо не существует.
    В последние десятилетия постепенное изменение целей обучения математике приводит к необходимости учить детей решению не только стандартных, но и нестандартных задач, которые нельзя отнести к классу алгоритмически разрешимых. Именно по отношению к нестандартной задаче возникает необходимость в вариативном поиске решения.
    "Задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно не доступной цели. Решение задач означает нахождение этого средства". [17, с. 143]
    Определённые группы задач, предназначенных для классных и внеклассных занятий, вполне пригодны для выработки "надлежащих навыков мысли", навыков, направленных на поиски решения задач.[6, с. 119?120]
    В книге [13, с. 165] М. И. Махмутов рассказывает об исследовании, проведённом группой учёных, математиков и психологов с целью выявления закономерностей активизации познавательной деятельности учащихся. Вот что он пишет в книге:
    "Теоретическое осмысление работ лучших учителей помогло обнаружить в учебном процессе общую закономерность активизации познавательной деятельности учащихся: напряжение интеллектуальных сил ученика вызывается главным образом постановкой проблемных вопросов, проблемных познавательных задач и учебных заданий исследовательского характера. ............