Министерство образования и науки Украины

Донбасская государственная машиностроительная академия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине: «Эконометрика»

Выполнил:

студент гр. ПВ 09-1з

Измайлов А.О.

Проверила:

Гетьман И.

Краматорск 2010

1. Теоретический вопрос

Область прогноза для однофакторной и двухфакторной модели. Точечный прогноз на основании линейной прогрессии.

Область прогнозов находится так: среди выборочных х находят xmin и xmax. Отрезок прямой, заключенный между ними называется областью прогнозов.

 

Прогнозируемый доверительный интервал для любого х такой .

Совокупность доверительных интервалов для всех х из области прогнозов образует доверительную область, которая представляет область заключения между двумя гиперболами. Наиболее узкое место в точке .

 

 

 

 

Прогноз для произвольного х дает интервал, в который с вероятностью g попадает неизвестное . Т.е. прогноз при заданном х составит от  до  с гарантией .

Максимальная ошибка прогноза.

Выборочные значения yi равны , где  коэффициенты регрессии для всей генеральной совокупности,  - случайная величина, значение которой мы определить не можем, так как не знаем .

Для неизвестных коэффициентов  могут быть найдены доверительные интервалы, в которые с надежностью g попадают : , .

Геометрический смысл коэффициента  - ордината пересечения прямой регрессии с осью 0Y, коэффициента  - угловой коэффициент прямой регрессии. Вследствие этого возникает следующая ситуация:

Истинная прямая регрессии может с вероятностью g занимать любое положение в доверительной области.

Наиболее максимальное отклонение от расчетного значения -  или . Найдем ошибку прогноза для каждого из значений:

, .

Т.е. максимальная ошибка прогноза в процентах составляет: , т.е. чем больше полуширина доверительного интервала, тем больше ошибка. Ширина доверительного интервала возрастает с ростом коэффициента доверия и уменьшается с ростом объема выборки со скоростью . Т.е. увеличив объем выборки в 4 раза, в 2 раза сузим доверительный интервал, т.е. в 2 раза уменьшим ошибку прогноза. С уменьшением коэффициента доверия уменьшается ошибка прогноза, но растет вероятность того, что истинное значение не попадет в доверительный интервал.

Прогноз на основании линейной модели для двуфакторной модели.

Целью регрессионного анализа является получение прогноза с доверительным интервалом. Прогноз делается по уравнению регрессии

(1)

Точка прогноза  из p-мерного пространства с координатами  выбирается из области прогноза. Если, например, модель двухфакторная , то область прогноза определяется прямоугольником, представленным на рис. 1.

 

Рис. 1

Т.е. область прогноза определяется системой неравенств:

Чтобы получить формулу для вычисления полуширины d доверительного интервала, нужно перейти к матричной форме записи уравнения регрессии.

Матричная запись многофакторной регрессии

Данные для построения уравнения регрессии, сведем в таблицу:

Таблица 1

№ набл Y

X1

X2

…

Xp

1

y1

x11

x12

x1p

2

y2

x21

x22

x2p

… n

yn

xn1

xn2

xnp

(2)

Подставляя в уравнение (2) значения из каждой строки таблицы, получим n уравнений.

(2)

ei – случайные отклонения (остатки), наличие которых объясняется тем, что выборочные точки не ложатся в точности на плоскость (1), а случайным образом разбросаны вокруг нее.

Чтобы записать систему (2) в матричном виде, вводим матрицу X, составленную из множителей при коэффициентах b1, b2, …, bp. ............