Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции
    
    Примеры
    Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.
     Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.
    Решение: Рассмотрим 1-ю функцию
     y = arcsin(1/x)
    Д(f): | 1/x | ? 1 ,
     | x | ? 1 ,
    ( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )
    
    
    
    Функция нечетная
    
    
    
    ( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;?/2] )
    
    Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-?/2; ?/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда
    y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)
    
    Д(f): ( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )
    
    
    
    
    
    
    Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).
    Решение:
    Д(f): [-1;1]
    Четная
    f(x) убывает на пр. [0;1]
    f(x) возрастает на пр. [-1;0]
    
    Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).
    Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2
    f(z) убывает на пр. [-1;1] от ? до 0.
    f(y) убывает на пр. [-1;1] от ?2 до 0.
    
    
    
    
    
    
    
    
    Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1))
    Решение:
    Д(f): ( - ? ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +? )
    Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:
    [ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +? )
    
    X 0 < x < 1 < x < +? u=1/(x2-1) -1 ? + ?
    - ? ? 0 y=arctg(u) - ?/4 ? ?/2
    - ?/2 ? 0
    
    
    Тригонометрические операции над аркфункциями
    Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.
    В силу определения аркфункций:
    sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x
    (справедливо только для x є [-1;1] )
    tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x
     (справедливо при любых x )
    Графическое различие между функциями, заданными формулами:
    
     y=x и y=sin(arcsin(x))
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.
    
    Аргумент
    
    функция arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) sin sin(arcsin(x))=x cos x tg x 1 / x ctg 1 / x x Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:
    1. Т.к. cos2x + sin2x = 1 и ? = arcsin(x)
    
    
    
    Перед радикалом следует взять знак "+", т.к. ............