Оператор сдвига Введение
    Тема для написания дипломной работы была выбрана не случайно. Теория линейных операторов - это интересная и важная область, которая позволяет не только активно применять уже имеющиеся знания по анализу, но и узнать много нового.
    В данной работе рассматриваются линейные операторы одностороннего и двустороннего сдвига. Вводятся основные понятия: спектр, резольвента, спектральный радиус оператора. Рассматриваются задачи, в ходе решения которых выясняются некоторые свойства спектров операторов сдвига. Определяется класс взвешенных сдвигов, выводится соотношение для нормы и спектрального радиуса оператора взвешенного сдвига.
    Известно, что если рассматривать поле действительных чисел при условии, что аксиома Архимеда не выполняется, то получим новое, расширенное поле, в котором существуют бесконечно большие и бесконечно малые элементы. На основании этого расширения можно построить весь математический анализ - нестандартный анализ.
    Естественно, часть основных понятий и свойств линейных операторов было бы интересно определить и доказать и в нестандартном анализе, что и было сделано в работе.
    В частности, был установлен следующий факт: хотя стандартный оператор сдвига не имеет собственных векторов, но его нестандартное расширение имеет "почти собственные" векторы, т. е. векторы, в определенном смысле бесконечно близкие к собственным. Часть 1. Оператор сдвига в гильбертовом пространстве §1. Основные понятия и факты теории линейных операторов
    1. Определение и примеры линейных операторов
    Пусть Е и Е1 - два линейных нормированных пространства над полем комплексных чисел. Линейным оператором, действующим из Е в Е1 называется отображение ( удовлетворяющее условию
    для всех .
    Совокупность DA всех тех , для которых отображение А определено, называется областью определения оператора А; вообще говоря, не предполагается, что DA=E , однако мы всегда будем считать, что DA есть линейное многообразие, то есть, если х,у DA , то и при любых .
    Определение 1. Оператор называется непрерывным в точке х0 DA , если для любой окрестности V точки у0=Ах0 существует такая окрестность U точки х0 , что АхV , как только х. Оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке х DA.
    Поскольку Е и Е1 - нормированные пространства, то это определение равносильно следующему: оператор А называется непрерывным, если выполняется следующее условие: ( .
    Примеры линейных операторов
    Пусть А - линейный оператор, отображающий n-мерное пространство Rn c базисом е1, ..., еn в m-мерное пространство Rm с базисом f1, ...,fm . Если х - произвольный вектор из Rn , то и, в силу линейности оператора А .
    Таким образом, оператор А задан, если известно, в какие элементы он переводит базисные векторы е1,..., еn . Рассмотрим разложение вектора Аеi по базису f1, ..., fm . Имеем . Следовательно, оператор А определяется матрицей коэффициентов аij . Образ пространства Rn и Rm представляет собой линейное пространство, размерность которого равна, очевидно, рангу матрицы , т.е. во всяком случае не превосходит n (свойство ранга матрицы). Отметим, что в конечномерном пространстве всякий линейный оператор автоматически непрерывен.
    Рассмотрим гильбертово пространство Н и в нем некоторое подпространство Н1 . ............