Курсова робота на тему: "Опис та типологія коливань"

 

Зміст

 

Введення

Вільні одномірні коливання

Змушені коливання

Коливання систем з багатьма ступенями волі

Загасаючі коливання

Змушені коливання при наявності тертя

Висновок

Література

 

Введення

Робота присвячена вивченню різних коливань. Механіка й акустика, радіофізика й оптика, квантова фізика й фізика твердого тіла - усюди ми зіштовхуємося з коливаннями. Єдиний підхід до вивчення коливань заснований на спільності рівнянь, що описують коливальні закономірності, дозволяє виявити глибокі зв'язки між різними, на перший погляд, явищами. Таким чином, вивчаючи коливання, ми будемо звертати увагу не тільки на те, що «хвилюється» і що «коливається», а головним чином на те, як і чому відбуваються коливання.

 

Вільні одномірні коливання

Дуже розповсюджений тип руху механічних систем являють собою, так звані малі коливання, які система робить поблизу свого положення стійкої рівноваги. Розгляд цих рухів ми почнемо з найбільш простого випадку, коли система має всього один ступінь волі.

Стійкій рівновазі відповідає таке положення системи, у якому її потенційна енергія U(q) має мінімум; відхилення від такого положення приводить до виникнення сили - dU / dq, що прагне повернути систему назад. Позначимо відповідне значення узагальненої координати за допомогою q0. При малих відхиленнях від положення рівноваги в розкладанні різниці U(q)-U(q0) по ступенях q - q0 досить зберегти перший незникаючий член. У загальному випадку таким є член другого порядку

де k - позитивний коефіцієнт (значення другій похідній U" (q) при q = q0). Будемо надалі відраховувати потенційну енергію від її мінімального значення (тобто покладемо U(q0) = 0) і введемо позначення

x = q – q0 (1, 1)

для відхилення координати від її рівноважного значення. Таким чином,

U(x) = kx2/2. (1,2)

Кінетична енергія системи з одним ступенем волі має в загальному випадку вид

У тім же наближенні досить замінити функцію a(q) просто її значенням при q = q0. Уводячи для стислості позначення

одержимо остаточно наступне вираження для лагранжевої функції системи, що робить одномірні малі коливання:

 (1,3)

Відповідної цієї функції рівняння руху говорить:

 (1,4) або

 (1,5)

де уведене позначення

 (1,6)

Два незалежних рішення лінійного диференціального рівняння

(1,5): cos ?t і sin ?t, так що його загальне рішення

 (1,7)

Це вираження може бути написане також і у вигляді

 (1,8)

Оскільки cos (ωt + α) = cos ωt cos α — sin ωt sin α, те порівняння з (1,7) показує, що довільні постійні  пов'язані з постійними  співвідношеннями

 (1.9)

Таким чином, поблизу положення стійкої рівноваги система робить гармонійний коливальний рух. Коефіцієнт а при періодичному множнику в (1,8) називається амплітудою коливань, а аргумент косинуса — їхньою фазою; а є початкове значення фази, що залежить, мабуть, від вибору початку відліку часу. Величина ω називається циклічною частотою коливань; у теоретичній фізиці, втім, її називають звичайно просто частотою, що ми й будемо робити надалі.

Частота є основною характеристикою коливань, що не залежить від початкових умов руху. Відповідно до формули (1,6) вона цілком визначається властивостями механічної системи як такої. ............