Министерство образования РФ

Рязанская государственная радиотехническая академия

Кафедра ОиЭФ

Контрольная работа

«Определение моментов инерции тел методом трифилярного подвеса»

Выполнил Ампилогов Н.В.

Проверил Малютин А.Е.

Рязань 2002

Цель работы

Определить момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр его масс, экспериментально проверить аддитивность момента инерции и теорему Штейнера.

Приборы и принадлежности: трифилярный подвес, секундомер, штангенциркуль, линейка набор тел.

Элементы теории

Момент инерции тела является мерой его инерции при вращательном движении и зависит не только от массы данного тела, но и от распределения данной массы относительно оси вращения.

Момент инерции материальной тачки (I) относительно некоторой оси равен:

I = mr2, где m – масса материальной точки; r – расстояние от точки до оси вращения.

В силу аддитивности момента инерции можно записать выражение:

,

где Ik – момент инерции k-ой части вращающейся системы; N – число частей во вращающейся системе.

Для протяженных тел момент инерции определяется, как сумма моментов инерции отдельных элементарных объёмов (dV), на которые можно разбить данное тело и которые можно считать материальными точками:

,

где dm = rdV – масса элементарного объёма; r - плотность тела в данной точке. Для однородных тел, у которых r - const:

.

Так, момент инерции однородного круглого пустотелого цилиндра или диска массой m с внутренним радиусом R2 относительно оси, совпадающей сего геометрической осью, рассчитанный с помощью формулы (4), равен:

.

Тогда:

для сплошного цилиндра, у которого R1 = 0, R2 = R.

;

для тонкого кольца, у которого R1 = R2 = R

I = mR2.

Согласно определению момента инерции одно и то же тело относительно разных осей обладает различными моментами инерции, которые могут быть найдены по теореме Штейнера:

8) I = I0 + ma2, где I0 –момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела; I – момент инерции того же тела относительно оси, параллельной предыдущей и смещённой на расстояние a от неё; m – масса тела.

В данной работе требуется определить момент инерции ненагруженной платформы и платформы с исследуемыми телами, что позволяет найти момент инерции самих тел и провести проверку аддитивности момента инерции, а так же убедиться в справедливости теоремы Штейнера. Для этого в ней используется метод трифилярного подвеса.

После однократного выведения данной системы (подвеса или подвеса с грузом) из положения устойчивого равновесия, поворотом на некоторый угол a, система начинает совершать произвольные колебания, период которых зависит момента инерции системы, а следовательно и от её массы. Таким образом полную механическую энергию данной системы (E) в произвольный момент времени t (и пренебрегая трением) можно записать так:

,

где J – момент инерции системы, состоящей из платформы и установленного на ней исследуемого твёрдого тела; w = da / dt – угловая скорость системы при повороте её на угол a; M – масса системы (платформы с грузом или без оного). В формуле (9)  - кинетическая энергия вращательного движения системы,  - потенциальная энергия системы. При (z – z0) – есть небольшая высота, на которую приподнимается система при вращении в силу перекоса нитей на которых смонтирован трифилярный подвес (z0 – высота покоящейся платформы; z – высота платформы, совершающей крутильные колебания, в произвольный момент времени).

В предоставленном после этого самому себе устройстве начнут совершаться крутильные колебания, период которых зависит от момента инерции подвешенной системы. ............