Задача 17.
Определите среднюю урожайность картофеля в регионе по данным о:
а) посевной площади и валовом сборе;
б) посевной площади и урожайности;
в) валовом сборе и урожайности.
Объясните, как определена форма средней величины.
Область Посевная площадь, тыс.га
Валовой сбор,
тыс. т
Урожайность,
ц/га
А 139,80 2055 147 Б 102,34 1484 145 В 63,29 981 155
а) при определении средней урожайности картофеля в регионе по данным о посевной площади и валовом сборе используем формулу средней арифметической
w (x*f) – валовый сбор;
fi – площадь.
Х ср =(20550+14840+9810 )/ (139,80+102,34+63,29)= 148
б) по данным по посевной площади и урожайности используем формулу средней арифметической взвешенной:
xi –урожайность по области;
fi – посевная площадь по области.
Х ср =(139,80*147+102,34*145+63,29*155)/(139,80+102,34+63,29)= 148
в) по данным о валовом сборе и урожайности используем среднюю гармоническую взвешенную:
хi – урожайность;
w – валовый сбор.
Х ср =(20550+14840+9810 )/(20550/147+14840/145+9810/155) = 148
Задача 27.
В целях изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими завода проведена 10%-ная случайная бесповторная выборка, в результате которой получено следующее распределение деталей по затратам времени:
Затраты времени на одну деталь, мин. Число деталей, шт. До 20 10 От 20 до 24 20 От 24 до 28 50 От 28 до 32 15 Свыше 32 5 Итого 100
1. На основании этих данных вычислите: средние затраты времени на изготовление одной детали, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
2.С вероятностью 0,954 определить:
а) предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе;
б) необходимую численность выборочной совокупности, чтобы предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не превышала 1 минуты.
Решение:
Для расчетов составим таблицу.
Затраты времени на одну деталь, мин., х i
Середина интервала
Число деталей,
fi
х i*fi
(xi- xср)
(xi- xср)2
(xi- xср)2* fi
До 20
10 18 180 -7,3 53,29 532,9 20 - 24 20 22 440 -3,3 10,89 217,8 24 - 28 50 26 1300 0,7 0,49 24,5 28 - 32 15 30 450 4,7 22,09 331,35 Свыше 32 5 32 160 6,7 44,89 224,45 Итого 100 2530 131,65 1331
1) средние затраты времени на изготовление одной детали рассчитаем по формуле средней арифметической взвешенной, предварительно выбрав середину интервала веса:
=2530/100═ 25,3
Средние затраты времени на изготовление одной детали составили 25,3 мин.
2) дисперсию и среднее квадратическое отклонение рассчитаем по формулам:
- дисперсия
σ2 = ((xi- xср)2* fi) / Σ fi
σ2 = 1331/100 =13,31
- среднее квадратическое отклонение
σ = √σ2 = √ 13,31 = 3,65
3) коэффициент вариации рассчитаем по формуле
ν = σ / хср *100%
ν = 3,65/ 25,3 * 100 = 14 (%)
ν = 14 %
Коэффициент вариации показывает однородность выборки. Если он ниже 35%, выборка однородная, как и в данном случае.
4) Рассчитаем с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе. Используем для расчета формулу средней ошибки выборочной средней
μ х = √ σ2х /n (1-n/N),
где σ2х – дисперсия изучаемого признака,
n - численность выборки,
N - число единиц в генеральной совокупности,
n/N = 0,1 (десятипроцентное).
μ х = √ σ2х /n (1-n/N) = √13,31/ (100*(1-0,1)) = 0,3
Предельная ошибка выборки рассчитывается по формуле
∆ х = t * μ х,
где t – коэффициент доверия, при вероятности 0,954 равен 2
∆ х = t * μ х = 2*0,3= 0,6
Итак, средние затраты времени на изготовление одной детали находится в пределах
хср±∆ х, или 25,3 ± 0,6 или от 24,7 до 25,9 мин.
б) необходимую численность выборочной совокупности, чтобы
предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не
превышала 1 минуты, рассчитаем по формуле:
n = ( 22*13,312*1000) / ( 12 * 1000+22*13,312) = 414
Численность выборочной совокупности, где предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не превышает 1 минуты составит 414 деталей.
Задача 37.
Имеются данные о среднедушевых доходах населения области за 1993-2002 гг. ............
