Оглавление
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Задача 5
Задача 1
Вычислить определитель 4-го порядка.
Решение:
Определитель 4-го порядка находится по формуле:
,
где
aij – элемент матрицы;
Мij – минора элемента aij. Минора элемента aij матрицы А называется определитель матрицы, которая была получена путем удаления из матрицы А строк и столбцов, которые содержат элемент aij
Задача 2
Решить систему матричным способом.
Решение:
1. Введем обозначения:
Тогда в матричной форме система имеет вид , т.е.
А-1-обратная матрица, которая существует только тогда, когда исходная матрица А невырожденная, т.е.
2. Найдем определитель матрицы по формуле:
Так как , то матрица А – невырожденная и обратная матрица А-1 существует и единственная.
3. Найдем обратную матрицу по формуле:
, где
- присоеденненая матрица, элементы которой равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы , и затем транспонированная.
a. найдем алгебраического дополнения всех элементов матрицы:
Получается матрица
b. транспонируем матрицу (т.е. матрица AT, полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы)
c. обратная матрица равна:
4. Находим значение переменных х1,х2,х3:
Х1=-27, Х2=36, Х3=-9
Задача 3 Решить систему методом Крамера
Решение:
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)
1. Данную систему представим в виде матрицы:
2. Найдем определители:
,
(, т.е. можно применить метод Крамера)
;
.
3. Найдем значение x, y:
,
,
Задача 4 Найти общее решение системы, используя метод Жордана-Гаусса:
Решение:
Данную систему представим в виде матрицы:
Шаг 1.
В качестве разрешающего элемента удобнее взять элемент а11=1 (т.к. при делении на «1» число остается без изменения). Делим элементы строки на разрешающий элемент а11. Разрешающие переменную х1 следует исключить из остальных уравнений, поэтому в новой матрице в первом столбце во всех строках (кроме 1 строки) необходимо поставить значение «0». Другие элементы новой матрицы находим по правилу прямоугольника:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Шаг 2.
В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой, например а22=5. Делим элементы разрешающей второй строки на «5». Все элементы первого столбца, кроме а11 берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника:
; ;
; ;
;
Шаг 3.
В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой и второй, например а33=1. Делим элементы разрешающей второй строки на «1». Все элементы первого и второго столбца, кроме а11=1 и а22=1 берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника:
;
;
;
Шаг 4.
Так как больше строк в качестве разрешающих не осталось, выписываем систему уравнений, которая соответствует последней матрице:
Предполагаем, что х4 – это любое число С, тогда
Х1=3,8-3,4С; Х2=23,6-7,8С; Х3=-33+С
Задача 5 Даны векторы.
Найти:
Решение:
Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В.
Из данных уравнений выделим координаты векторов:
, где координатами являются (x,y,z)
т.е. ............
