Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Курсовая работа Выполнила студентка II курса группы ПМИ Решоткина Наталья Николаевна Мурманский Государственный Педагогический Университет Мурманск 2007 Введение
    При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.
    Цель данной работы: теоретическое обоснование и необходимость практического применения теоремы Коши-Бине:
    Пусть , - и -матрицы соответственно, и
    Тогда
    Другими словами, при определитель матрицы является суммой произведений всевозможных миноров порядка в на соответствующие миноры матрицы того же самого порядка
    Работа состоит из четырех глав, содержит заключение, список литературы и приложение программы для теоремы Коши-Бине. В главе I рассматриваются элементы линейной алгебры - матрицы, операции над матрицами и свойства сложения матриц, и умножения на скаляр. Глава II посвящается умножению матриц и его свойств, а также транспонирование произведения двух матриц. В главе III рассматриваются обратимые и элементарные матрицы. В главе IV вводиться понятие определителя квадратной матрицы, рассматриваются свойства и теоремы об определителях, а также приводится доказательство теоремы Коши-Бине, что является целью моей работы. В дополнение прилагается программа показывающая механизм нахождения определителя произведения двух матриц. Глава I § 1 Определение, обозначения и типы матриц
    Мы определяем матрицу как прямоугольную таблицу чисел:
    
    Где элементы матрицы aij (1?i?m, 1?j?n)-числа из поля .Для наших целей поле будет либо множеством всех вещественных чисел, либо множеством всех комплексных. Размер матрицы , где m-число строк, n-число столбцов. Если m=n, то говорят, что матрица квадратная, порядка n. В общем случаем матрица называется прямоугольной.
    Каждой матрице с элементами aij соответствует n?m матрица с элементами aji . Она называется транспонированной к и обозначается через. Видно, что =. Строки матрицы становятся столбцами в и столбцы матрицы становятся строками в.
    Матрица называется нулевой если все элементы равны 0:
    
    Матрица называется треугольной если все ее элементы, расположенные ниже главной диагонали равны 0
    
    Треугольная матрица называется диагональной, если все элементы расположенные вне главной диагонали равны 0
    
    Диагональной матрица называется единичной, если все элементы расположенные на главной диагонали равны 1
    
    Матрица, составленная из элементов, находящихся на пересечении нескольких выбранных строк матрицы и нескольких выбранных столбцов, называется субматрицей для матрицы . Если -номера выбранных строк и -номера выбранных столбцов, то субматрица это
    
    В частности, строки и столбцы матрицы можно рассматривать как ее субматрицы.
    §2 Операции над матрицами
    Определим следующие операции:
    Сумма двух матриц , и с элементами и есть матрица С с элементами , запишем это как
    Произведение матрицы на число поля есть матрица С с элементами , запишем как .
    Произведение матрицы на матрицу есть матрица С с элементами , запишем
    поле скаляров, рассмотрим , где элемент матрицы , расположенный в -строке , -столбце . ............