2. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 2.1. Введение Оптимальные системы - это системы, в которых заданное качество работы достигается за счет максимального использования возможностей объекта, иными словами это системы, в которых объект работает на пределе своих возможностей. Рассмотрим апериодическое звено первого порядка
    K W (p) = --? , (2.1)
    Tp+1 ¦u¦? A, (2.2) для которого необходимо обеспечить минимальное время перехода у из начального состояния y(0) в конечное yK. Переходная функция такой системы при K=1 выглядит следующим образом Рис. 2.1. Переходная функция системы при U= const. Рассмотрим ситуацию, когда на вход объекта подаем максимально возможное управляющее воздействие. Рис. 2.2. Переходная функция системы при U=A= const.
     t1 - минимально возможное время перехода y из нулевого состояния в конечное для данного объекта. Для получения такого перехода существует два закона управления: - программное управление A, t < t1 y = (2.3) yk, t ? t1; - закон управления типа обратной связи A, y < yk y = (2.4) yk, y ? yk; Второй закон более предпочтителен и позволяет обеспечить управление при помехах. Рис. 2.3. Структурная схема системы с законом управления типа обратной связи. 2.2. Постановка задачи синтеза оптимальных систем. 2.2.1. Математическая модель объекта. Объект описан переменными состояния
    x?Rn , u?Rm, m ? n, (2.5) где функция f(x,u) непрерывна, дифференцируема по всем аргументам и удовлетворяет условию существования и единственности решения дифференциального уравнения. Эта функция является нелинейной, но стационарной. В качестве частных случаев объект может иметь вид нелинейной системы с аддитивным управлением (2.6) либо линейной системой (2.7) Объект должен быть представлен в одной из трех форм, представленных выше. 2.2.2. Множество начальных и конечных состояний. Задача оптимального перехода из начального состояния в конечное представляет собой краевую задачу, где начальные и конечные точки могут быть заданы одним из четырех способов, представленных на рис. 2.4.
    Рис.2.4. Фазовые портреты перехода системы из начального состояния в конечное для различных задач:
    а) задача с фиксированными концами, б) задача с фиксированным первым концом (фиксированная начальная точка и множество конечных значений),
    в) задача с фиксированным правым концом,
    г) задача с подвижными концами. Для объекта множество начальных состояний может в общем случае совпадать с о всем множеством состояний либо с рабочей областью, а множество конечных состояний является подпространством множества состояний или рабочей области.
    
    
    Пример 2.1.
    
    В любую ли точку пространства состояний можно перевести объект, описываемый системой уравнений ? Запишем уравнения статики для данного объекта Подставив во второе уравнение значение U из первого уравнения u = x20 - 2x10, получим
    -5x10 + x20 = 0; Получили множество конечных состояний, описываемое уравнением
    x20 = 5x10;
     Таким образом, множество конечных состояний, задаваемое для объекта (системы), должно быть реализуемым. 2.2.3. Ограничения на состояния и управление Рис. 2.5. Общий вид рабочей области пространства состояний. ............