Основы фрактального исчисления Балханов Василий Карлович
    Предложена система аксиом, определяющие фрактальное исчисление. Показано ее применение для иерархических структур. В качестве фрактальных разветвленных структур рассмотрены дельты рек и стримерные каналы. Введены фрактальные интегралы и дифференциалы, вычислены их значения для элементарных функций. Рассмотрены простейшие фрактальные уравнения.
    Введение во фрактальное исчисление. Фрактальная геометрия, созданная Бенуа Б. Мандельбротом 30 лет назад, основывается на экспериментальном факте, что в общем случае длина L произвольной кривой (которая может быть изломана в любой точке) степенным образом зависит от масштаба измерения ? [1,2,3]:
    L = C ? ? 1-D . (1)
    Здесь С - размерный множитель, свой для каждой кривой, D - фрактальная размерность; наглядный пример - длинноногому дорога будет казаться короче. Для обычных, гладких линий D = 1 и получаем "истинную" длину. Если кривая плотно заполняет всю плоскость (простой пример - броуновская траектория), то для нее D = 2. Формулу легко проверить, нарисовав синусоподобную линию и, меняя раствор циркуля, измерить длину такой линии. Довольно очевидно, что как вся линия, так и любой ее участок обладают одной и той же фрактальной размерностью. Такое свойство называется самоподобием (скейлинг, масштабная инвариантность). Самоподобие означает, что как вся линия, так и любой ее участок обладают одной и той же фрактальной размерностью. Если линию увеличить в ? раз, то для измерения новой длины ? L достаточно использовать масштаб, равный ? ? , т.е.
    ? L = C?( ? ? ) 1-D . (2)
    Формулы Мандельброта и условие самоподобия в форме (2) достаточно взять в виде аксиом фрактального исчисления, тогда чисто логическим путем можно получить практически все, известные на последнее время, результаты [4].
    Альтернативная формулировка. При решении различных задач бывает полезным дать другую формулировку исходных аксиом. Во первых, длину измеряют, подсчитывая число масштабов, т.е. L = N ( ? )? ? , где N (? ) - необходимое число шагов (растворов циркуля), с которым масштаб обходит всю линию, при этом из (1) следует, что N ( ? ) = C? ? -D. В новом масштабе, равном
    ? ? = ?? ?, (3)
    длина будет L ? = C ? ? ? 1-D. Подставляя (3) в выражение для L ?, получаем
    L ? = C? ? 1-D? ? 1-D. Но здесь C ? ? 1-D есть исходная длина, равная N ( ? )? ?, следовательно
    L ? = ? 1-D? N ( ? )? ? . (4)
    С другой стороны, L ? = N (? ? )?? ?, или L ? = N ( ? ? ? ) ?? ? ? . Сравнивая последний результат с (4), приходим к замечательному результату:
    N ( ? ? ? ) = ? -D ? N ( ? ). (5)
    В таком виде обычно и записывают условие самоподобия, подразумевая под N любую функцию от своих аргументов с отличным от D показателем. Во вторых, в формуле (3) ? и ? входят равным образом, т.е. переобозначение ? ? не меняет общего вида самой формулы. Можно считать ? масштабом, а ? - масштабным множителем. Это легко понять - чтобы измерить шестиметровую длину, нужно двухметровый эталон приложить три раза, а можно трехметровый эталон приложить всего два раза. Вместо предложенных постулатов в основу теории фракталов можно положить симметрию переобозначения ? и ? и условие самоподобия в форме (5). Такая формулировка может оказаться наиболее пригодной в некоторых приложениях. ............