Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток Д.Н. Лавров, Омский государственный университет, кафедра математического моделирования 1. Введение
    Рассмотрим набор M датчиков, произвольным образом расположенных в пространстве. Дипольная решетка получается из данного набора путем сдвига вдоль вектора h. Вектор h назовем порождающим.
    Образуем систему из L дипольных решеток, с каждой из которой ассоциирован порождающий вектор , которую назовем линейной, если система порождающих векторов коллинеарна, плоской - если компланарна, и объемной - в остальных случаях.
    Пусть на эту систему воздействует D плоских волновых фронтов. Каждому из них сопоставлен волновой вектор .
    Поставим задачу оценивания компонент волновых векторов по измерениям, полученным от системы дипольных решеток (СДР). Используя метод поворота подпространств [], получим оценки линейных комбинаций типа или в матричном виде
    
    где M - -матрица измерений фаз; H - -матрица порождающих векторов, ; N - -матрица волновых векторов, ;где n - размерность волнового вектора, принимаемая за единицу для линейной СДР, n=2 - для плоской и n=3 - для объемной СДР.
    Характерной особенностью метода поворота подпространств является отсутствие информации о глобальной геометрии дипольной решетки, что влечет произвольную перестановку элементов строк матрицы M. Данное обстоятельство обозначим матричным мультииндексом , представляющим собой целочисленную матрицу, каждая строка которой есть перестановка целых от 1 до D. Таким образом
    
    
    2. Построение оценок
    2.1 Оценка наименьших квадратов
    Пусть L>n. Рассмотрим матрицу ошибок:
    
    Найдем N, являющуюся решением задачи
    ,
    где
    
    
    матрица ошибок выписанная по столбцам. Продифференцировав (3) по N (с учетом легко проверяемого свойства ), приравняв к нулю полученное выражение - для МНК-оценки матрицы волновых векторов получим:
    
    Для нахождения подставим (4) в целевую функцию (3), после простых преобразований имеем
    
    где - проектор на пространство, ортогональное линейной оболочке столбцов H и .
    Задачу поиска оценки в дальнейшем будем называть задачей согласования измерений. 2.2 Оценка максимального правдоподобия
    Оценки (4) и (5) легко обобщаются, если ошибки измерений нормально распределены с нулевым средним и матрицей ковариаций B-1.
    Записав логарифм функции правдоподобия, исключив константы, не зависящие от оцениваемых параметров, приходим к оптимизационной задаче вида
    
    Выражение (2) запишется в виде , где IL - -единичная матрица; и - вектора соответствующих размерностей, полученные из и N выписыванием компонент по столбцам. Вместо мультииндекса введя матрицу перестановок P, являющуюся произведением матриц элементарных перестановок (причем каждая из этих матриц является допустимой, если переставляет две компоненты с одинаковыми первыми индексами), получим:
    
    Продифференцировав (6) и приравняв нулю полученные производные по , получим оценку совокупности волновых векторов:
    
    Подставляя (8) в (6), получаем решение задачи согласования
    
    с проектором
    
    
    Минимум (9) ищется по всевозможным допустимым матрицам P. ............