Овалы Кассини и пузыри в моделировании мягких оболочек Шальнев Олег Васильевич. 1. 4
    В работе рассматриваются закономерности изменения конфигурации меридиана мягких оболочек, деформированных внешней нагрузкой в пределах как области бесскладчатости, так и в запредельных областях с помощью модельных поверхностей вращения овалов Кассини.
    Мягкие силовые оболочки, способные оказывать сопротивление действию внешней сжимающей нагрузки и совершению работы по перемещению поверхности оболочки, деформированной внешней нагрузкой, относятся к мягким домкратам. Характерной особенностью их является трансформация начальной геометрической формы в процессе перемещения под нагрузкой в диапазоне от складчатого (запредельного) состояния к бесскладчатому.
    Наряду с традиционным подходом к расчету мягких силовых оболочек известны модельные описания их формы специфичными кривыми (эластиками Эйлера), очерчивающими меридиан поверхности вращения наибольшего объема при его заданной длине / 5 /, а также с помощью дифференциальных уравнений, определяющих радиусы кривизны безызгибных оболочек вращения под действием равномерного давления / 13 /.
    Однако, применение разомкнутых кривых Эйлера для моделирования замкнутых поверхностей вращения приводит к необходимости введения граничных условий, частных расчетных схем, а использование модели, основанной на дифференциальных уравнениях имеет ограничения только действием в области бесскладчатости. Поэтому первым условием создания математической модели является ее замкнутость и непрерывность кривизны. Другим условием создания модели является обобщенность начальной формы мягких оболочек.
    При условии абсолютной эластичности материала наиболее рациональной формой является равнонапряженная сфера, или в общем случае овалоид (вытянутый или сплюснутый) равного давления, соотношение размеров которого соответствует условию бесскладчатости. Для запредельного состояния в качестве начальной может быть принята составная (эквипотенциальная) поверхность равного напряжения (пузырьковая модель), представляющая блок равнонапряженных, плотно упакованных упругих сфер / 17 /. Поэтому третьим условием создания модели является возможность приведения изменяемых геометрических форм мягких оболочек к общему уравнению.
    Таким условиям моделирования соответствует семейство овалов Кассини. Особенностью этих плоских кривых является их геометрическая аналогия с эквипотенциальными линиями электромагнитного силового поля, образованного двумя точечными зарядами. То есть, кривые Кассини очерчивают меридиан поверхности равного напряжения потенциального поля сил давления сжатой среды, заключенной в деформированную мягкую оболочку.
    Овалы Кассини /15/ при определенных значениях констант уравнения являются частным случаем спирических кривых Персея-алгебраических линий четвертого порядка, для которых оси координат служат осями симмерии.
    Линиями Кассини называются геометрические места точек (М), для которых произведение расстояний (F1M x F2M = d?), где (F1; F2) - фиксированные фокусы, (d) - постоянная. Уравнение, определяющее форму овала в декартовой системе координат , имеет вид (Рис. 25):
    (x? + y?)?- 2f (x? - y?) = d4 - f4, (34)
    где f = const - межфокусное расстояние;
    0 < d < ? - характерная константа овалов Кассини.
    В полярных координатах уравнение Кассини имеет вид:
    r?= f? cos 2j ± SQR( f4 cos( 2j)? + (d4 - f4)) . ............