Практическая работа № 1
1. По заданным дифференциальным уравнениям определить операторные уравнения при нулевых начальных условиях, передаточные функции, структурные схемы звеньев, характеристические уравнения и их корни. Показать распределение корней на комплексной плоскости.
Оценить устойчивость каждого из звеньев.
а) ; б).
2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:
.
1. а). Дифференциальное уравнение можно записать в виде:
.
Обозначим Y(s) и F(s) как изображения сигналов соответственно y и f, тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:
1,25s3Y(s) – 4s2Y(s) + 5sY(s) = 3F(s) – sF(s).
Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и F(s) за скобки:
Y(s). (1,25s3 – 4s2 + 5s) = F(s). (3 – s).
Отсюда получено:
.
Очевидно, что входной сигнал x отсутствует, и выходной сигнал у определяется только внешним воздействием f (система, действующая по возмущению): , то получается уравнение Y(s) = WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 1.
Рис.1
Рис. 2
Передаточная функция имеет знаменатель, называемый характеристическим выражением:
A(s) =.
Если приравнять данное выражение к нулю, то образуется характеристическое уравнение , корни которого:
, и .
Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 2. По рисунку видно, что корни лежат в правой полуплоскости, следовательно, объект неустойчив.
б) Дифференциальное уравнение можно записать в виде:
.
Обозначим Y(s), X(s) и F(s) как изображения сигналов соответственно y, x и f, тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:
2s2Y(s) + 4sY(s) + 10Y(s) = 3X(s) + 4sF(s).
Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и X(s) за скобки:
Y(s). (5s2 + 4s + 10) = 3X(s) + 4sF(s).
Отсюда получено:
.
Если обозначить передаточные функции объекта как
и ,
то получается уравнение Y(s) = Wx(s).X(s) + WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 3.
Рис. 3
Характеристическая функция имеет вид:
,
а характеристическое уравнение:
.
Корни этого уравнения равны:
и .
Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 4:
Рис. 4.
Все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, очевидно, что объект устойчив.
2. Дана передаточная функция вида:
Зная, что по определению, , получим:
, тогда:
.
Раскрывая скобки:
Применяя к полученному выражению обратное преобразование Лапласа, находим искомое дифференциальное уравнение:
.
Практическая работа № 2
Дана одноконтурная АСР, для которой определена передаточная функция регулятора (Р) с настройками и дифференциальное уравнение объекта управления (ОУ). Требуется определить:
- передаточную функцию разомкнутой системы W∞(s),
- характеристическое выражение замкнутой системы (ХВЗС),
- передаточные функции замкнутой системы Фз(s) – по заданию, Фв(s) – по возмущению, ФЕ(s) – по ошибке,
- коэффициенты усиления АСР,
- устойчивость системы.
Р - ПИ-регулятор с ПФ вида ;
дифференциальное уравнение объекта управления:
.
Определим передаточную функцию объекта:
Wоб(s).
Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:
Характеристическое выражение замкнутой системы:
;
Передаточные функции замкнутой системы:
- по заданию;
- по ошибке;
- по возмущению.
По передаточным функциям определим коэффициенты усиления путем подстановки в них s = 0:
К3 = Ф3(0) = 1 – по заданию;
КЕ = ФЕ(0) = 0 – по ошибке;
Кв = Фв(0) = 0 – по возмущению.
Определим устойчивость АСР по критерию Гурвица.
Так как коэффициенты ХВЗС а3 = 4, а2 = 6, а1 = 18, а0 = 4 (степень полинома n = 3), то матрица Гурвица имеет вид:
Диагональные миноры матрицы равны соответственно:
Поскольку все определители положительны, то АСР является устойчивой.
Практическая работа № 3
По табличным данным построить переходную кривую объекта, определить параметры передаточной функции объекта, рассчитать настройки ПИД-регулятора, обеспечивающие 20%-е перерегулирование.
DXвх = 5,5 кПа; DY = 0,149 %; tзап = 40 сек
t, мин
0 20 50 80 110 140 170 200 230 260
DY
0 0,009 0,032 0,060 0,089 0,116 0,130 0,141 0,149 0,149
Полученная переходная характеристика изображена на рисунке 5:
Рис. ............
