КОНТРОЛЬНА РОБОТА
з дисципліни
„Математичне програмування”
Завдання 1
1) Побудувати математичну модель задачі лінійного програмування.
2) Звести дану задачу до канонічного вигляду.
Діва вироби В1 і В2 обробляються послідовно на трьох верстатах. Кожний виріб типу В1 потребує 1 год. для обробки на першому верстаті, 2 год. – на ІІ-му і А год. – на третьому.
Кожний виріб В2 потребує для обробки 2 год, А год. і 3 год. відповідно на І-му, ІІ-му і ІІІ-му верстатах.
Час роботи на першому верстаті не повинен перевищувати 10N год., на ІІ-му – 15N год., на ІІІ-му – 50 год.
Скласти план виробництва при максимальному прибутку, якщо відомо, що продаж одного виробу типу В1 приносить прибуток 5 грн., а типу В2 – 3 грн.
Примітка: А=, тобто А=.
Розв’язання.
Типи
верстатів
Затрати часу, год
Час роботи,
год
В1 В2 І в 1 2 60 ІІ в 2 А 90 ІІІ в А 3 50 Прибуток, грн 5 3
1) Математична модель задачі.
Позначимо кількість виробів В1 і В2 відповідно х1 та х2.
Цільова функція (величина прибутку), яку потрібно максимізувати
Спеціальні обмеження задачі визначаються обмеженнями часу роботи верстатів і нормативами часу обробки виробів на верстатах. При обсягу випуску виробів В1 і В2 відповідно х1 та х2 і заданих нормативах часу обробки час роботи першого верстату дорівнює
час роботи другого верстату
час роботи третього верстату
Спеціальні обмеження є наступними:
Загальні обмеження задачі витікають з природи економічних змінних і полягають у тому, що вони не можуть мати від’ємні значення, тобто
Отже маємо математичну модель задачі:
за умов
Словесно задача формулюється таким чином: знайти значення змінних х1 та х2, які задовольняють заданій системі обмежень і доставляють максимальне значення цільовій функції Z.
2) У канонічній формі задачі лінійного програмування спеціальні обмеження подаються рівностями. Перехід до канонічної форми здійснюється шляхом введення додаткових (фіктивних) змінних, які перетворюють нерівності на рівності. В даному випадку до першого обмеження вводиться змінна х3, до другого – х4, до третього – х5. Додаткові змінні вводяться зі знаками „+”, оскільки обмеження мають тип „”. Математична модель задачі у канонічній формі:
за умов
Завдання 2
Розв’язати задачу лінійного програмування графічним методом
за умов
Розв’язання.
В декартовій системі координат х1Ох2 будуємо прямі, які визначаються нерівностями системи обмежень. Це прямі ; ; . Кожна пряма ділить площину х1Ох2 на дві половини, в одній з яких виконується відповідна нерівність системи обмежень, а в іншій не виконується. Півплощини, в яких виконуються нерівності системи обмежень позначені штриховою біля прямих. Переріз цих півплощин являє собою область припустимих планів задачі. Це – чотирикутник ОАВС.
Цільова функція визначає сімейство паралельних прямих ліній з різними значеннями параметра z. При z=0 маємо пряму , що проходить через початок координат. ............
