Подъем инвариантов классических групп А.Н. Зубков, Омский государственный педагогический университет, кафедра алгебры
    Пусть G простая алгебраическая группа одного из трех классических типов - B, C, D, над алгебраически замкнутым полем K произвольной характеристики. Группа G=G(n) канонически вложена в GL(n) для подходящего n [8]. Рассмотрим диагональное действие группы G на - m экземплярах пространства матриц M(n) сопряжениями. Возникает интересная задача - описать кольцо инвариантов In,m=K[M(n)m]G(n) . В предлагаемой работе будет доказано, что имеет место естественный эпиморфизм , который индуцирован каноническим отображением , где тогда и только тогда, когда , или (для симплектического случая определение другое, здесь зануляются все элементы вне "центрального" -блока). На остальных местах отображение тождественно.
    Все необходимые сведения о модулях с хорошей фильтрацией (кратко модули с ХФ), можно найти в [5].
    Мы будем использовать идею доказательства теоремы 2 из [5]. Пусть .
    Cлучай B, D. Мы будем предполагать, что . Подходящим образом изменяя базис, мы можем считать, что . Более того, так как действие сопряжениями, то можно полагать даже, что .
    Пара аффинных G-многообразий (G - произвольная редуктивная группа) называется хорошей, если K[W] и IV - G- модули с ХФ. Здесь IV - это идеал . Пусть W=M(n), V= C(A)=CG(A), где . Наша задача сейчас - показать, что и, что - хорошая пара.
    Нетрудно проверить, что g-1Ag = En + (a-1)(xij), где xij = g1ig1j, g=(gij), En - единичная матрица. Обозначим через M(n)r множество матриц ранга , а через S - подпространство симметрических матриц в M(n).
    Лемма 1. Класс сопряженности V совпадает с , где T - это множество всех матриц, удовлетворяющих условиям .
    Обозначим множество через L
    Доказательство. Легко проверить непосредственно, что M(n)1 совпадает с множеством матриц вида (xiyj), где независимо пробегают все векторы из n-мерного векторного пространства E(n). Пусть и лежит в . Тогда xiyj = yixj. Найдутся xi0 и yj0 не равные нулю, ведь . Тогда из xi0yj0 = yi0xj0 следует, что . Далее, если xi =0, тогда xi0yi= yi0xi =0, то есть yi=0 и наоборот. Другими словами, xi =0 тогда и только тогда, когда yi =0. Более того, для ненулевых коэффициентов отношение xi/yi является константой. Обозначим ее t. Переходя к параметрам xi'=t-1/2xi=yi'=t1/2yi, можно предполагать, что xi=yi для всех i. Подставляя в уравнения определяющие T и используя то, что , мы получим, что . Достроим cистему из одного вектора x до ортонормированного базиса пространства E(n) и расположим векторы этого базиса столбцами (причем x - первый) в матрице g. Ясно, что , и g-1Ag = En + (a-1)z. Таким образом, . Обратное включение очевидно.
    Поскольку , то мы можем воспользоваться леммой 1 () [7] и заключить, что , если докажем, что нормальное многообразие. Cдвиг и умножение на (ненулевой) скаляр - гомеоморфизмы, поэтому достаточно показать, что нормально L. Пусть Sn - единичная сфера в E(n). Из сказанного выше ясно, что отображение из Sn в L по правилу является доминантным. В частности, мы имеем вложение . Образ этого вложения порожден элементами xixj. Алгебра имеет градуировку , где R0 - подпространство, натянутое на мономы четной степени, а R1 - нечетной. Элемент однороден относительно этой градуировки, поэтому "наследует" градуировку R. Будем обозначать ее теми же символами. Заметим еще, что K[L]=R0. ............