Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Положительные и ограниченные полукольца
Выполнил:
студент V курса математического факультета
Ворожцов Вячеслав Андреевич _____
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В. Чермных ________
Рецензент:
доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии Е.М. Вечтомов _______
Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е.М. Вечтомов
«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина
Киров
2005
Содержание
Введение........................................................................................................... 3
Глава 1. Основные понятия теории полуколец ............................................. 4
1.1. Определение полукольца. Примеры.................................................. 4
1.2. Дистрибутивные решетки.................................................................... 5
1.3. Идеалы полуколец............................................................................... 6
Глава 2 Положительные и ограниченные полукольца.................................. 7
2.1. Определение и примеры положительных и ограниченных полуколец 7
2.2. Основные свойства положительных и ограниченных полуколец..... 7
Библиографический список........................................................................... 16
Введение
Теория полуколец – это раздел современной алгебры, обобщающий как кольца, так и дистрибутивные решетки. Понятие полукольца возникло в 30-х годах прошлого столетия. Как самостоятельная теория полукольца начали изучаться в 50-е годы. Особенно интенсивно теория полуколец развивается последние 20 лет, что вызвано не только теоретическим интересом, но и многочисленными ее приложениями.
Целью данной работы является изучение классов положительных и ограниченных полуколец, рассмотрение основных свойств данных алгебраических объектов, часть из которых доказывается автором работы самостоятельно; приведены примеры полуколец.
Работа состоит из 2 глав. В первую главу вошли основные определения и факты, на которые опирается эта работа. Вторая – основная часть всей работы, в ней рассмотрены определения и свойства положительных и ограниченных полуколец, приведены примеры, доказаны некоторые теоремы.
Глава I. «Основные понятия теории полуколец».
1.1. Определение полукольца. Примеры.
Определение полукольца: Непустое множество S с бинарными операциями + и · называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:
1. (S,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;
· Ассоциативность: ;
· Коммутативность: ;
· Существование нейтрального элемента: .
2. (S,·) – полугруппа:
· Ассоциативность: ;
3. Умножение дистрибутивно относительно сложения:
· левая дистрибутивность: а(в+с)=ав+ас;
· правая дистрибутивность: (а+в)с=ас+вс.
4. Мультипликативное свойство 0:
· .
Эта аксиоматика появилась в 1934 году и ее автором является Вандовер.
Полукольцо S называется коммутативным, если операция в нем коммутативна: .
Полукольцо S называется полукольцом с единицей, если в нем существует нейтральный элемент по умножению, который называется единицей (1):
Примеры полуколец:
1. <N,+,·>, где N – множество неотрицательных целых чисел с обычными операциями + и ·;
2. <{0},+,·> - тривиальное полукольцо;
3. Двухэлементные полукольца:<Z2 ,+,·>, <В,+,·> (в В 1+1=1);
4. Множество матриц с элементами из полукольца N и операциями + и ;
5. Множества N, Z, Q+, Q, R+, R и введенных на них различных комбинаций операций: обычные сложение и умножение, максимум и минимум двух чисел, НОД и НОК, когда они определены.
Полукольцо с импликацией называется мультипликативно (аддитивно) сократимым.
Полукольцо, в котором выполняется равенство , называется мультипликативно (аддитивно) идемпотентным.
1.2. ............
