Контрольная работа
Материал: сталь 40.
n = 4, a = 1,4 м
P = 1,7qa т, q = 3 т/м
М0 = 2,3qa2 т·м
Решение.
1. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
Определим расчетную нагрузку:
Рр = Р · n = 1,7 · 3 · 1,4 · 4 = 28,56 т
qp = q · n = 3 · 4 = 12 т/м
Мр = М0 · n = 2,3 · 3 · 1,42 · 4 = 54,1 т · м
Qp = qp · a = 12 · 1,4 = 16,8 т
Схему нагружения балки заменим ее моделью, в которой действующие на балку связи заменим силами.
Определим реакции опор. Составим следующие уравнения:
∑МА = 0
Qp · 0,5a + Mp – Pp · 2a + Qp · 2,5a + Pp · 3a – RE · 4a = 0
RE = (Qp · 3a + Mp + Pp · a) / 4a = (16,8 · 3 · 1,4 + 54,1 + 28,56 · 1,4) / 4 · 1,4 = 29,4 т
∑МЕ = 0
RА · 4a - Qp · 3,5a + Mp + Pp · 2a - Qp · 1,5a - Pp · a = 0
RА = (Qp · 5a - Mp - Pp · a) / 4a = (16,8 · 5 · 1,4 - 54,1 - 28,56 · 1,4) / 4 · 1,4 = 4,2 т
Проверка:
∑F = 0
RА - Qp + Pp - Qp - Pp + RE = 0
4,2 – 16,8 + 28,56 – 16,8 – 28,56 + 29,4 = 0 – равенство верно.
Построим эпюру поперечных сил методом характерных точек, ходом слева:
FAпр = RА = 4,2 т
FВлев = FAпр - qp · а = 4,2 – 12 · 1,4 = -12,6 т
FВпр = FВлев = -12,6 т
FСлев = FВпр = -12,6 т
FСпр = FСлев + Рр = -12,6 + 28,56 = 15,96 т
FDлев = FСпр - qp · а = 15,96 - 12 · 1,4 = -0,84 т
FDпр = FDлев - Рр = -0,84 – 28,56 = -29,4 т
FЕлев = FDпр = -29,4 т
Строим эпюру изгибающих моментов, методом характерных точек ходом слева (рис. 1). Правую часть до рассматриваемого сечения мысленно отбрасываем. Находим сумму моментов всех сил, действующих слева от сечения относительно рассматриваемой точки.
МА = 0
МВлев = RA · a – qp · a · 0,5a = 4,2 · 1,4 – 12 · 1,4 · 0,5 · 1,4 = -5,88 т · м
МВпр = RA · a – qp · a · 0,5a + Мр = 4,2 · 1,4 – 12 · 1,4 · 0,5 · 1,4 + 54,1 = 48,22 т · м
МС = RA · 2a – qp · a · 1,5a + Мр = 4,2 · 2 · 1,4 – 12 · 1,4 · 1,5 · 1,4 + 54,1 = 30,58 т · м
МD = RA · 3a – qp · a · 2,5a + Мр + Pp · a – qp · a · 0,5a =
= 4,2 · 3 · 1,4 – 12 · 1,4 · 3 · 1,4 + 54,1 +28,56 · 1,4 = 41,16 т · м
МE = 0
Рис. 1
Необходимо также найти моменты в сечениях К и L.
Прежде чем определить момент в сечении К, необходимо найти расстояние х = АК. Составим выражение для поперечной силы в этом сечении и приравняем его к нулю.
FK = RA - qp · x = 0
x = RA / qp = 4,2/12 = 0,35 м
Определим момент в точке К:
МК = RA · x – qp · х · 0,5х = 4,2 · 0,35 – 12 · 0,35 · 0,5 · 0,35 = 0,74 т · м
Аналогично определяем момент в точке L.
x1 = CL
FL = RA – qp · a +Pp – qp · x1 = 0
x1 = (RA – qp · a + Pp)/ qp = (4,2 – 12 · 1,4 + 28,56)/12 = 1,33 м
МL = RA (2a + x1) – qp · a (1,5a + x1) + MP + PP · x1 - qp · x1 · 0,5x1 =
= 4,2 (2·1,4 + 1,33) – 12 · 1,4(1,5 · 1,4 + 1,33) + 54,1 + 28,56 · 1,33– 12 · 1,33 · 1,33 · 0,5 =41,2 т · м
По найденным точкам строим эпюру изгибающих моментов (рис. 1).
2. Определение необходимого осевого момента сопротивления изгибу из условия прочности
Условие прочности на изгиб:
|σmax| = |Mmax| / Wтр ≤ [σ]
Из эпюры изгибающих моментов:
Mmax = 48,22 т · м = 48,22 · 104 Н · м – максимальный изгибающий момент.
[σ] = 650 МПа – допускаемое нормальное напряжение для стали 40.
Требуемый осевой момент сопротивления изгибу из условия прочности:
Wтр ≥ |Mmax| / [σ] = (48,22 · 104) / 650 · 106 = 0,074 · 10-2 м3
Исследуем поперечные сечения различных форм (двутавр, швеллер, прямоугольник, квадрат, круг, треугольник)
Круг:
Wкр = πd3 / 32 = Wтр
d = = = 0,2 м
Sкр = πd2 / 4 = (3,14 · 0,22) / 4 = 0,0314 м2 = 314 см2 – площадь поперечного сечения.
Квадрат:
Wк = b3 / 6 = Wтр
d = = = 0,16 м
Sк = b2 = 0,162 = 0,0256 м2 = 256 см2 – площадь поперечного сечения.
Прямоугольник:
Wп = ba2 / 6 = Wтр; a > b; возьмем a = 2b.
Wтр = 4b3 / 6; b = = = 0,1 м; a = 2 · 0,1 = 0,2 м
Sп = аb = 0,1 · 0,2 = 0,02 м2 = 200 см2 – площадь поперечного сечения.
Треугольник. При вычислении напряжения в вершине треугольника.
Wт = bh2 / 24 = Wтр; b – сторона треугольника, h – высота.
Возьмем: h = b /
Wтр = b3 / 48; b = = = 0,33 м; h = 0,33 / = 0,23 м
Sтр = 0,5hb = 0,5 · 0,33 · 0,23 = 0,038 м2 = 380 см2 – площадь поперечного сечения.
Швеллер.
По справочникам определим швеллер.
Берем швеллер №40. ............
