Исходные данные к курсовому проекту

Рассматривается последний этап посадки космического аппарата (КА) на планету. При построении математической модели предположим:

1)  посадка осуществляется по нормали к поверхности планеты, планета неподвижна и в районе посадки плоская;

2)  на КА действуют сила тяжести G=mg, причем g=const и сила тяги , где с=const, а β – секундный расход массы m, ;

3)  аэродинамические силы отсутствуют.

Уравнения движения КА могут быть представлены в виде:

; ; , где h – текущая высота;

или в нормальной форме:

; ; ; .

Здесь введены обозначения:

; ; ; ; .

Граничные условия имеют вид:

; ; ; ; ,

причем Т заранее неизвестно. Требуется найти программу управления u*(t), обеспечивающую мягкую посадку при минимальном расходе топлива, то есть .

Исходные данные для расчетов

Ускорение силы тяжести для планеты g=1,62 м/с2, величина с=3000 м/с.

Задание к курсовому проекту

1.)  Составить гамильтониан Н, воспользовавшись необходимыми условиями оптимальности для задачи Майера.

2.)  Из условия максимизации Н по u найти оптимальное управление.

3.)  Получить каноническую систему уравнений и в результате прийти к краевой задаче, для которой в момент t=0 заданы компоненты x0, x1, x2, а в момент t=T‑компоненты x1, x2, ψ0.

4.)  Из условия Н(Т)=0 получить соотношение для определения неизвестного времени Т.

5.)  Произвести анализ необходимых условий оптимальности, начав с исследования возможности существования особого вырожденного управления, то есть случая, когда функция переключения

.

Доказать, что Кu не может обратиться в нуль на конечном интервале времени и, следовательно, особого управления в данной задаче не существует.

Показать, что Кu есть монотонная функция t.

Рассмотреть четыре возможных случая:

а) Ku>0 для всех ;

б) Ku<0 для всех ;

в) Ku>0 для , Ku<0 для ;

г) Ku<0 для , Ku>0 для .

Показать, в каких случаях (из физических соображений) мягкая посадка невозможна, в каком из реализуемых случаев расход топлива меньше.

Получить программу оптимального управления, когда до некоторого момента t1 управление отсутствует u*=0, а начиная с t=t1, управление равно своему максимальному значению u*=umax, что соответствует минимальному расходу топлива.

6.)  Решить каноническую систему уравнений, рассматривая ее для случаев, когда  и управление u*=0, и когда , u*=umax.

Приравнивая х1(Т) и х2(Т) нулю, получить два уравнения относительно t1 и Т. Таким образом, краевую задачу свести к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t1, Т. Составить программу расчета. Получив решение этой системы, решить полностью исходную задачу программирования оптимального управления мягкой посадкой КА на планету. В заключение следует построить фазовую траекторию спуска КА и определить конечную массу m(Т).

Выполнение задания курсового проекта

Нам известно, что

, где        с – сила тяги двигателя,

m – масса космического аппарата;

 – ускорение аппарата.   

То есть, масса · ускорение = сумме сил, действующих на аппарат.

β – секундный расход массы m: .

Расход массы обеспечивает силу тяги двигателя (P=c·β), ее можно менять в пределах .

можно найти из исходных данных – выразив из отношения силы тяги к начальной массе Pmax/m(0):

;

;

 кг/с.

Наш критерий оптимизации . ............