Построение циклических кодов
    
    § 1 Введение
    
    Код ,в котором кодовая комбинация, полученная путем циклического сдвига разрешенной кодовой комбинации является также разрешенной кодовой комбинацией называется циклическим ( полиномиальным, кодом с циклическими избыточными проверками-ЦИП).
    Сдвиг осуществляется справа налево, при этом крайний левый символ переносится в конец комбинации.
    Циклический код относится к линейным, блочным, корректирующим, равномерным кодам.
    В циклических кодах кодовые комбинации представляются в виде многочленов, что позволяет свести действия над кодовыми комбинациями к действием над многочленами (используя аппарат полиномиальной алгебры).
    Циклические коды являются разновидностью систематических кодов и поэтому обладают всеми их свойствами. Первоначально они были созданы для упрощения схем кодирования и декодирования. Их эффективность при обнаружении и исправлении ошибок обеспечила им широкое применение на практике.
    Циклические коды используются в ЭВМ при последовательной передаче данных .
    
    ( 2 Постановка задачи
    
    Построить циклический код для передачи 31 разрядной кодовой комбинации с исправлением однократной ошибки ( n=31 ,s=1) двумя
    способами.
    Показать процесс обнаружения и исправления однократной ошибки в передаваемой кодовой комбинации. Составить программу, реализующую алгоритм кодирования, декодирования и исправления ошибки при передаче данных с использованием циклического кода.
    
    ( 3 Операции над циклическими кодами
    1. Сдвиг справа налево осуществляется путем умножения полинома на x:
    G(x)=x4+x2+1 ? 0010101;
    G(x)?x=x5+x3+x ? 0101010.
    2. Операции сложения и вычитания выполняются по модулю 2 .
    Они являются эквивалентными и ассоциативными :
    G1(x)+G2(x)=>G3(x);
    G1(x) -G2(x)=>G3(x);
    G2(x)+G1(x)=>G3(x);
    Пример:
    G1(x)= x5 +x3+x;
    G2(x)=x4 +x3 +1;
    G3(x)=G1(x) ? G2(x) = x5 +x4+x+1.
    3. Операция деления является обычным делением многочленов, только вместо вычитания используется сложеное по модулю 2 :
    
    G1(x)=x6+x4+x3 ;
    G2(x)=x3+x2+1 .
    
    ( 4 Принцип построения циклических кодов
    
    Идея построения циклических кодов базируется на использовании неприводимых многочленов. Неприводимым называется многочлен, который не может быть представлен в виде произведения многочленов низших степеней ,т.е. такой многочлен делиться только на самого себя или на единицу и не делиться ни на какой другой многочлен. На такой многочлен делиться без остатка двучлен xn+1.Неприводимые многочлены в теории циклических кодов играют роль образующих полиномов.
    Чтобы понять принцип построения циклического кода, умножаем комбинацию простого k-значного кода Q(x) на одночлен xr ,а затем делим на образующий полином P(x) , степень которого равна r. В результате умножения Q(x) на xr степень каждого одночлена, входящего в Q(x), повышается на r. При делении произведения xrQ(x) на образующий полином получается частное C(x) такой же степени, как и Q(x).
    Частное C(x) имеет такую же степень, как и кодовая комбинация Q(x) простого кода, поэтому C(x) является кодовой комбинацией этого же простого k-значного кода. ............