Содержание. * Понятие поверхности второго порядка. 1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка. * Классификация поверхностей второго порядка. 1. Классификация центральных поверхностей. ? 1°. Эллипсоид. ? 2°. Однополостный гиперболоид. ? 3°. Двуполостный гиперболоид. ? 4°. Конус второго порядка.
    2. Классификация нецентральных поверхностей. ? 1°. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид. ? 2°. Параболический цилиндр • Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям. 1. Эллипсоид. 2. Гиперболоиды. ? 1°. Однополостный гиперболоид.
    ? 2°. Двуполостный гиперболоид. 3. Параболоиды. ? 1°. Эллиптический параболоид. ? 2°. Гиперболический параболоид. 4. Конус и цилиндры второго порядка. ? 1°. Конус второго порядка. ? 2°. Эллиптический цилиндр. ? 3°. Гиперболический цилиндр. ? 4°. Параболический цилиндр. Список использованной литературы. 1. "Аналитическая геометрия" В.А. Ильин, Э.Г. Позняк § 1. Понятие поверхности второго порядка.
    Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида a11х2 + а22у2 + a33z2+ 2a12xy + 2a23уz + 2a13xz + 2а14 x + 2а24у+2а34z +а44 = 0 (1) в котором по крайней мере один из коэффициентов a11 , а22 , a33 , a12 , a23 , a13 отличен от нуля.
    Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением поверхности второго порядка.
    Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение (1) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны.
     1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка. Справедливо следующее утверждение. являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго-порядка относительно преобразований декартовой системы координат. Доказательство этого утверждения приведено в выпуске "Линейная алгебра" настоящего курса.
     § 2. Классификация поверхностей второго порядка
    1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S - центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате указанных операций уравнение поверхности примет вид a11х2 + а22у2 + a33z2 + а44 = 0 (2)
    Так как инвариант I3 для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a11 • а22 • a33 , то коэффициенты a11 ,а22 , a33 удовлетворяют условию :
    
    Возможны следующие случаи :
     ? 1°. Коэффициенты a11 ,а22 , a33 одного знака, а коэффициент а44 отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.
    Если коэффициенты a11 ,а22 , a33 , а44 одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют координаты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом.
    Если знак коэффициентов a11 ,а22 , a33 противоположен знаку коэффициента а44 , то поверхность S называется вещественным эллипсоидом. ............