Правильные и полуправильные многогранники Реферат выполнила: Гилева Мария, класс 10 "В", школа 41 2000/2001 учебный год Правильные и полуправильные многогранники (платоновы и архимедовы тела)
    Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, грани которого - равные правильные многоугольники, а двугранные углы при всех вершинах равны между собой. Доказано, что в каждой из вершин правильного многогранника сходится одно и то же число граней и одно и то же число ребер.
    Всего в природе существует пять правильных многогранников. По сравнению с количеством правильных многоугольников это - очень мало: для каждого целого n>2 существует один правильный n-угольник, т.е. правильных многоугольников - бесконечно много. Правильные многогранники имеют названия по числу граней: тетраэдр (4 грани): гексаэдр (6 граней), октаэдр (8 граней), додекаэдр (12 граней) и икосаэдр (20 граней). По-гречески "хедрон" означает грань, "тетра", "гекса" и т. д. - указанные числа граней. Нетрудно догадаться, что гексаэдр есть не что иное, как всем знакомый куб. Грани тетраэдра, октаэдра и икосаэдра - правильные треугольники, куба - квадраты, додекаэдра - правильные пятиугольники.
    Если обозначить количество углов у одной грани правильного многогранника за q, а количество граней, сходящихся в одной вершине - за p, можно получить точные характеристики каждого правильного многогранника. Вот они (первое число - q, второе - p): (3;3), (3;4), (4;3), (3;5), (5;3). При этом у куба и октаэдра, а также у икосаэдра и додекаэдра, числа p и q оказываются как бы переставленными. Эти многогранники называют двойственными. Тетраэдр считается двойственным сам себе. У двойственных многогранников количество ребер одинаковое.
    Правильные многогранники симметричны. Это означает, что для любого произвольно выбранного ребра AB и примыкающей к нему грани F можно так повернуть многогранник, что ребро AB перейдет в любой отличное от него ребро CD, точка A - в любой его конец (C или D), а грань F совпадет с одной из двух примыкающих к нему граней. Таких возможных поворотов - самосовмещений всего существует 4P, где P - число ребер многогранника. При этом половина из них - повороты вокруг воображаемых осей, соединяющих центр многогранника с его вершинами, серединами ребер и граней на углы, кратные соответственно 2?/q, ? и 2?/p, а другая половина - симметрии относительно плоскостей и "зеркальные повороты". Указанное "свойство максимальной симметричности" иногда принимают за определение правильного многогранника. Но человеку, далекому от математики, трудно представить себе геометрическое тело с таким определением.
    Иоганн Кеплер называл куб "родителем" всех правильных многогранников. На основе куба он смог построить все другие виды правильных многогранников.
    Если провести в противоположных гранях куба скрещивающиеся диагонали, то их концы окажутся вершинами тетраэдра, а вершины октаэдра - это центры граней куба. Полученные многоугольники действительно правильные, так как их грани - правильные треугольники. Равенство же двугранных углов следует из того, что при повороте куба ребро многогранника можно перевести в любое другое.
    Для того, чтобы построить икосаэдр, на каждой грани куба нужно построить отрезок длиной x (пока что это - любая длина) так, чтобы он был параллелен двум сторонам своей грани и перпендикулярен таким же отрезкам на соседних гранях. ............