Приближённые методы решения алгебраического уравнения Реферат по курсу численных методов выполнил студент группы РЭ-01-1 Днепропетровский Национальный Университет Радиофизический факультет Кафедра физики СВЧ Днепропетровск 2002 1. Численное решение уравнений с одним неизвестным
    В данной работе рассматриваются метода приближённого вычисления действительных корней алгебраического или трансцендентного уравнения
    f(x)=0 (1.1)
    на заданном отрезке [a, b].
    Уравнение называется алгебраическим, если заданная функция есть полином n-ой степени:
    f(x) = P(x) = a0xn + a1xn- 1 + ... + an-1 x + an = 0, a0 ? 0
    Требование a0 ? 0 обязательно, так как при невыполнении этого условия данное уравнение будет на порядок ниже.
    Всякое уравнение (1.1) называется трансцендентным, если в нём невозможно явным образом найти неизвестное, а можно лишь приближённо.
    Однако в число алгебраических уравнений можно также включить те уравнения, которое после некоторых преобразований, можно привести к алгебраическому.
    Те методы, которые здесь рассматриваются, применимы, как к алгебраическим уравнениям, так и к трансцендентным.
    Корнем уравнения (1.1) называется такое число ?, где f(?)=0.
    При определении приближённых корней уравнения (1.1) необходимо решить две задачи:
    отделение корней, т. е. определение достаточно малых промежутков, в каждом из которых заключён один и только один корень уравнения (простой и кратный);
    уточнение корней с заданной точностью (верным числом знаков до или после запятой);
    Первую задачу можно решить, разбив данный промежуток на достаточно большое количество промежутков, где бы уравнение имело ровно один корень: на концах промежутков имело значения разных знаков. Там где данное условие не выполняется, те промежутки откинуть.
    Вторая задача решается непосредственно в методах рассмотренных ниже.
    При графическом отделении корней уравнения (1.1) нужно последнее преобразовать к виду:
    ?1(x)=?2(x) (2.1)
    и построить графики функций y1=?1(x), y2=?2(x).
    Действительно, корнями уравнения (1.1)
    f(x) = ?1(x) - ?2(x) = 0
    являются абсциссы точек пересечения этих графиков (и только они).
    Из всех способов, какими можно уравнение (1.1) преобразовать к виду (2.1) выбираем тот, который обеспечивает наиболее простое построение графиков y1=?1(x) и y2=?2(x). В частности можно взять ?2(x) = 0 и тогда придём к построению графика функции (1.1), точки пересечения которого с прямой y2=?2(x)=0, т. е. с осью абсцисс, и есть искомые корни уравнения (1.0).
    Условия, наложенные на функцию f(x) на отрезке [a, b].
    Будем предполагать, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] (для метода хорд можно потребовать на интервале) и имеет на этом интервале первую и вторую производные, причём обе они знакопостоянны (в частности отличны от нуля). Будем также предполагать, что функция f(x) принимает на концах отрезка значения разного знака. В силу знакопостоянства первой производной функция f(x) строго монотонна, поэтому при сделанных предположениях уравнение (1.1) имеет в точности один корень на интервале (a, b). 2. Метод дихотомии
    Этот метод ещё называется методом вилки. ............