Применение свойств функций для решения уравнений Т.С. Кармакова, доцент кафедры алгебры ХГПУ
    В предлагаемой статье речь идет о нестандартных приемах решения уравнений, основанных на простых и хорошо известных учащимся свойствах и характеристиках функций, таких как непрерывность, монотонность наибольшее и наименьшее значение. Используя предлагаемые автором задачи и методы их решения, учитель сможет сформировать у учащихся более широкий взгляд на область применения различных этих свойств. Ведь не секрет, что в стандартном курсе школьной математики свойства функций применяются в основном для построения их графиков.
    В соответствии с обязательным минимумом содержания среднего (полного) общего образования, утвержденным Министерством образования РФ (пр. №56 от 30.06.99), все учащиеся должны знать три основных метода решения уравнений:
    Разложение на множители,
    Замена переменных,
    Использование свойств функций.
    Рассмотрим на конкретных примерах сущность третьего метода. Этот метод применяется тогда, когда уравнение F(x)=G(x) в результате преобразований или замены переменных не может быть приведено к тому или иному стандартному уравнению, имеющему определенный алгоритм решения. Продемонстрируем использование некоторых свойств функций к решению уравнений указанного выше вида в случае, когда F(x) и G(x) - любые элементарные функции.
    Использование области определения и области значения функций
    Решить уравнение
    Решение: Множество решений этого уравнения совпадает с областью определения функции . Областью определения этой функции (в соответствии с определением степени с рациональным показателем) является множество положительных действительных чисел.
    Ответ: x>0.
    Решить уравнение sinxctgx=cosx.
    Решение: Множество решений этого уравнения совпадает с областью определения уравнения. Область определения уравнения - это общая часть областей определения функций, входящих в уравнение. Следовательно, множество решений уравнения - множество всех действительных чисел, кроме x=k?, где k?Z.
    Ответ: x?k?, где k?Z.
    Решить уравнение .
    Решение: У этого уравнения нет корней, так как область значений функции при x?1 есть множество неотрицательных чисел, а функция при всех x принимает отрицательные значения.
    Решить уравнения:
    а)
    б)
    в)
    г)
    д)
    е)
    Ответы: а) x>0, x?1; б) ?x??1; в) x?0; г) x?0; д) Нет корней; е) x?0.
    Использование экстремальных значений функций
    Сущность этого способа решения уравнений в том, что оцениваются правая и левая части уравнения F(x)=G(x) и, если одна из функций принимает значение не меньше некоторого числа А, а другая - не больше этого же числа А, то данное уравнение заменяется системой уравнений:
    Этот способ может быть применен к решению следующих уравнений:
    в обеих частях уравнения стоят функции разного вида;
    в одной части уравнения функция, ограниченная сверху, а в другой - ограниченная снизу;
    в одной части уравнения стоит функция, ограниченная сверху или снизу, а в другой - конкретное число.
    Рассмотрим конкретные примеры.
    2.1 Решить уравнение
    Решение: Оценим правую и левую части уравнения:
    а) , так как , а ;
    б) , так как .
    Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух при любых допустимых значениях переменной x. ............