Содержание
1. Задание
2. Аналитическое выравнивание
3. Метод экспоненциального сглаживания
4. Метод скользящих средних
5. Выравнивание при помощи рядов Фурье
Выводы
1. Задание
По имеющимся исходным данным урожайности озимой пшеницы в Волгоградский области провести расчеты прогнозных значений на последующие шесть лет для выявления закономерных или случайных изменений.
Исходные данные урожайности:
1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 3,5 5,2 2,2 3,6 7,1 6,9 4,1 5,3 10,1 4,8 7,7 16,8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 9,8 14,5 13,7 19,0 5,0 12,0 11,3 17,5 13,1 17,9 9,6 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
2. Аналитическое выравнивание
Выберем в качестве функций регрессии – линейную, параболическую, гиперболическую и показательную:
.
Гиперболическую и показательную можно линеаризовать и применить МНК к этим функциям как к линейным. Для гиперболической функции введем новую переменную:
.
Тогда получим:
,
где
.
Для показательной функции проведем следующие преобразования. Прологарифмируем обе части уравнения: . Сделаем замены:
, , .
Получим:
,
откуда найдем: , , .
Применим ПО MS Excel 2003 и Stata 7.0. Посчитаем коэффициент корреляции:
Коэффициент корреляции значим.
Построим линейную регрессию
Регрессионная статистика Множественный R 0,717687 R-квадрат 0,515074 Нормированный R-квадрат 0,491982 Стандартная ошибка 3,693991 Наблюдения 23 Дисперсионный анализ df SS MS F Значимость F Регрессия 1 304,3725 304,3725 22,30559 0,000116 Остаток 21 286,557 13,64557 Итого 22 590,9296 Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Y-пересечение 3,014625 1,592152 1,893427 0,072162 -0,29644 6,325686 Переменная X 1 0,548419 0,11612 4,722879 0,000116 0,306935 0,789903
Регрессия для гиперболической функции:
Регрессия для параболической функции:
Регрессия для показательной функции:
Как видно из этих данных, коэффициент детерминации у регрессии для гиперболической функции значительно хуже, чем у других моделей. А константа и коэффициент при переменной в модели параболической регрессии не значимы согласно t-критерию Стьюдента.
Коэффициенты детерминации для моделей линейной и показательной регрессий примерно одиноковы, причем R-квадрат больше у показательной регрессии. Сравним эти 2 модели по другим показателям. Рассчитаем среднюю квадратическую ошибку уравнения тренда и информационные критерии Акейка и Шварца:
, ,
Чем меньше значение информационных критериев, тем лучше модель.
Итак, для модели линейной регрессии получим:
AIC=5,131843277
BIC=2,658769213 σ=3,694
Для модели регрессии показательной функции имеем:
AIC= 5,477785725 BIC= 2,831740437 σ=4,028
Все 3 показателя лучше в первом случае.
Применим модель линейной регрессии для аналитического выравнивания исходного ряда. Модель такова:
у=3,01+0,55t;
Значения уровней ряда, полученных по модели, и остатков представлены в следующей таблице:
Наблюдение Предсказанное Y Остатки 1 3,563043478 -0,063043478 2 4,111462451 1,088537549 3 4,659881423 -2,459881423 4 5,208300395 -1,608300395 5 5,756719368 1,343280632 6 6,30513834 0,59486166 7 6,853557312 -2,753557312 8 7,401976285 -2,101976285 9 7,950395257 2,149604743 10 8,498814229 -3,698814229 11 9,047233202 -1,347233202 12 9,595652174 7,204347826 13 10,14407115 -0,344071146 14 10,69249012 3,807509881 15 11,24090909 2,459090909 16 11,78932806 7,210671937 17 12,33774704 -7,337747036 18 12,88616601 -0,886166008 19 13,43458498 -2,13458498 20 13,98300395 3,516996047 21 14,53142292 -1,431422925 22 15,0798419 2,820158103 23 15,62826087 -6,02826087
Спрогнозируем урожайность озимой пшеницы на последующие 6 лет
Прогнозные значения t y 24 16,17667984 25 16,72509881 26 17,27351779 27 17,82193676 28 18,37035573 29 18,9187747
Из графика видно, что урожайность с каждым последующим годом будет возрастать и достигнет через шесть лет значения практически в 2 раза большего, чем в 1969 году. ............
