Зміст

1. Короткі теоретичні відомості

2. Розробка алгоритму розв’язання задачі

3. Результати обчислень і оцінка похибки

Висновки

Література

Додаток

1. Короткі теоретичні відомості

Часто задачі техніки і природознавства математично зводяться до відшукання розв’язку певного диференціального рівняння (або системи таких рівнянь), який задовольняє певні початкові умови (задачі Коші). Про інтегрувати таке рівняння в скінченому вигляді вдається досить рідко. при цьому дістають здебільшого такий вигляд, до якого шукана функція входить неявно, а тому користуватись ним не зручно.

На практиці застосовують здебільшого наближене інтегрування диференціальних рівнянь. Воно дає змогу знайти наближений розв’язок задачі Коші або у вигляді певного аналітичного виразу (наприклад, ряду Тейлора), або у вигляді деякої таблиці значень.

Розглянемо окремі методи чисельного розв’язування задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку, розв’язаного відносно похідної. Наближений розв’язок задачі Коші записують у вигляді певної таблиці значень.

Задача Коші полягає в тому, щоб знайти розв’язок y(x) диференціального рівняння

,                                                  (1.1)

який задовольняє початкову умову

(1.2)

Геометрично це означає, що треба знайти ту інтегральну криву y(x) рівняння (1.1), яка проходить через точку (x0,y0).

Задача Коші (1.1) – (1.2) має єдиний розв’язок, наприклад при виконанні умови такої теореми.

Теорема (Пікара). Якщо функція f(x,y) двох змінних х і у неперервна в замкнутому прямокутнику

з центром у точці (х0,у0) і задовольняє в ньому умову Лівшиця по змінній у, тобто існує число K>0, яке не залежить від х і у, таке, що

(1.3)

для будь-яких точок (х1,у1) і (х2,у2) , то існує єдина диференційована функція , яка є розв’язком диференціального рівняння (1.1). Цей розв’язок визначений і неперервно диференційований принаймні на відрізку [x0-h; x0+h], де

(1.4)

Розглянемо так звані однокрокові чисельні методи розв’язування задачі Коші (1.1)-(1.2), в яких, щоб знайти наближений розв’язок у точці хk+1=xk+h, досить знайти її розвязок в точці хk.

І оскільки розв’язок задачі в точці х0 відомий з початкових умов, то ці методи дають змогу послідовно обчислити значення розв’язку в наступних точках х1=х0+h, x2=x1+h,...

Окремим представником однокрокових чисельних методів є методи типу Ейлера. Надалі припускатимемо, що функція f(x,y) рівняння (1.1) задовольняє умови теореми Пікара [1].

Метод Ейлера

Нехай на відрізку [x0,x0+l] треба знайти чисельний розв’язок задачі Коші(1.1)-(1.2). Для цього відрізок [x0,x0+l] поділимо на n (для простоти) рівних частин точками

х0, х1, х2,..., хn=x0+l, де хk=x0+kh (k=0,1,2,...,n), .

Величину h називають кроком чисельного інтегрування диференціального рівняння (1.1).

Розв’язати задачу (1.1)-(1.2) чисельно – це означає для заданої послідовності х0, х1,…, хn=b=x0+l незалежної змінної х та числа у0 знайти числову послідовність у1, у2,…, уn, тобто для заданої послідовності значень незалежної змінної xk=x0+kh (k=0, 1, ..., n) побудувати таблицю наближених значень шуканого розв’язку задачі Коші.

Якщо наближений розв’язок задачі (1.1)-(1.2) в точці хk відомий, то, проінтегрувавши рівняння (1.1) в межах від хk до хk+1, знайдемо його розв’язок в точці хk+1 за формулою:

                                      (1.5)

Саме ця формула є вихідною для побудови багатьох чисельних методів розв’язування задачі (1.1) - (1.2). ............