Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине Курсовая работа по сеточным методам Студент: Смирнов А.В. Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Москва 2002 Постановка задачи
    Рассчитать установившееся температурное поле в плоской пластине, имеющей форму криволинейного треугольника с тремя отверстиями (см. рисунок).
    К внешним границам пластины подводится тепловой поток плотностью . На внутренних границах конструкции происходит теплообмен со средой, характеризующийся коэффициентом теплообмена и температурой среды . Коэффициент теплопроводности материала пластины
    
    Рис. 1Решение
    Введем декартову систему координат , выбрав начало координат и направим оси x и y так, как показано на рис.2.
    
    Рис. 2
    Задача теплопроводности в пластине запишется в виде
    (1)
    (2)
    (3)
    где - направляющие косинусы вектора внешней нормали к граничной поверхности, - граничная поверхность, на которой происходит теплообмен с коэффициентом теплообмена , - граничная поверхность, на которой задан тепловой поток плотности .
    Решение уравнения (1) с граничными условиями (2) и (3) можно заменить задачей поиска минимума функционала
    . (4)
    Решать поставленную задачу будем с помощью метода конечных элементов. Для этого сначала проведем триангуляцию нашей области. Триангуляция.
    Результат триангуляции представлен на рис.3.
    
    
    Рис. 3
    Все выбранные узлы заносятся в список, который содержит информацию о координатах узлов. Номер узла определяется его номером в списке. Кроме списка вершин будем вести еще список треугольников. В глобальном списке треугольников будет храниться информация о каждом построенном треугольнике: номера (Top1, Top2, Top3) трех узлов, составляющих данный элемент и номер границы. Номер треугольника определяется его номером в списке. Договоримся, что у каждого треугольника границе может принадлежать только одна сторона и если такая сторона есть, то вершины, которые она соединяет, будут стоять на первых двух позициях (Top1 и Top2). Обход треугольника совершается против часовой стрелки. Метод конечных элементов
    Выберем произвольный треугольник (с номером e). Обозначим его вершины и . Каждому узлу треугольника поставим в соответствие функцию формы
    , (5)
    где , A - площадь треугольника. Тогда температуру в пределах треугольника можно определить с помощью функций форм и значений температуры в узловых точках
    . (6)
    Функционал (4) можно представить в виде суммы функционалов , каждый из которых отражает вклад в функционал (4) элемента с номером e
    . (7)
    Минимум функционала (4) находим из условия
    (8)
    Функционал можно представить в виде
    (9)
    Здесь , глобальный вектор температур , - матрица градиентов, которая для функций формы (5) примет вид , . Локальный вектор температур . Здесь матрица геометрических связей имеет размерность . Элементы этой матрицы определяются следующим образом: ; все остальные элементы равны нулю.
    Продифференцируем функционал (9):
    Из выражения (8) с учетом последнего соотношения получаем , где матрица теплопроводности элемента ; вектор нагрузки элемента .
    В силу особенностей проведенной триангуляции можно выделить три группы конечных элементов. ............