Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Расширение кольца с помощью полутела
Выполнил:
студент V курса математического факультета
Лукин Михаил Александрович
_____________________
Научный руководитель:
д. ф.-м. н., профессор, зав. кафедрой алгебры и геометрии
Вечтомов Евгений Михайлович
_____________________
Рецензент:
к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры алгебры и геометрии
Чермных Василий Владимирович
_____________________
Допущен к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е. М. Вечтомов
«___»___________2005 г. Декан факультета В. И. Варанкина
Киров – 2005
Содержание
Введение........................................................................................ 3
§1. Допустимые кольца и решетки.............................................. 6
§2. Допустимые полутела.......................................................... 10
§3. О единственности расширения............................................ 12
Заключение................................................................................. 14
Библиографический список........................................................ 15
Введение
Теория полуколец является активно развивающимся разделом современной алгебры, находящим применения в компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления.
Для получения новых конструкций полуколец может оказаться полезным понятие двойного расширения полуколец (или 0-1 расширения).
В работе исследуется следующий вопрос. Для каких кольца R, полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела U с помощью решетки L?
Полукольцом называется такая алгебраическая структура áS; +, ×, 0ñ, что áS; +, 0ñ - коммутативный моноид с нулем 0, áS, ñ - полугруппа и в S выполняются тождества a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc и a0=0a=0. Неодноэлементное полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полутелом (с нулем). Если из полутела S исключить 0, то получим структуру áS; +, ñ, которую будем называть полутелом без нуля, или просто полутелом. Полукольцо с квазитождеством a+b=0 Þ a=0 назовем антикольцом. Полукольцо с тождеством a+a=a называется идемпотентным. А полукольцо с квазитождеством a+b=a+c Þ b=c называется сократимым.
Полукольцо S назовем 0-расширением полукольца K с помощью полукольца T, если на S существует такая конгруэнция s, что K@[0]s - изоморфно нулевому ядру - и S/s@T. Аналогично, полукольцо S с единицей 1 называется 1-расширением полукольца K, возможно без нуля, с помощью полукольца T, если на S существует конгруэнция r, для которой K@[1]r - изоморфно единичному ядру - и S/r@T. В отличие от колец данные расширения позволяют шире представлять сами полукольца, скажем, изучить симбиоз колец и полутел, или колец и антиколец (см. [1]).
Для произвольного полукольца S обозначим через R(S) множество всех аддитивно обратимых элементов в S, а через U(S) – множество всех обратимых элементов в S в случае, когда S обладает 1. ............