Функциональные ряды (ФР). Степенные ряды (СтР)

 

Функциональный ряд– ряд вида

,

члены которого являются функциями от х.

Придавая х различные числовые значения, получаем различные числовые ряды, которые могут сходиться или расходиться.

Совокупность тех значений х, при которых ФР сходится, называется областью сходимости этого ряда. Область сходимости ФР чаще всего служит какой-нибудь промежуток оси ОХ.

Частным случаем ФР является степенной ряд.

СтР – ФР вида

,

где а,С0,С1,…,Сn – постоянные числа, называемые коэффициентами ряда. При а=0 СтР принимает вид:

Для всякого СтР существует такой интервал, который называется интервалом сходимости, внутри которого ряд сходится абсолютно; вне этого интервала ряд расходится.

Задан СтР, надо найти интервал сходимости для этого ряда. Находим так:

- радиус сходимости ряда СтР.

-R<x-a<R

a-R<x<a+R

Если взять любое значение х из интервала сходимости (расходимости) и подставить его в СтР вместо х, то получим сходящийся (расходящийся) числовой ряд.

В частном случае R может быть равен 0 (R=0) или (R=).

Если R= то интервал сходимости будет от - до + (-;+), т.е. ряд сходится на всей числовой оси.

Если R=0 то ряд расходится на всей числовой оси, кроме точки х=а (в этой точке ряд сходится).

Для нахождения R СтР применяем формулы Да Ламбера или Коши:

 - формула ДаЛамбера

- формула Коши

На концах интервала сходимости, т.е. в точках х=а-R и х=а+R вопрос о сходимости/расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда. Для этого необходимо подставить с СтР вместо х числа х=а-R и х=а+R и исследовать полученные числовые ряды на сходимость или расходимость. Если ряд сходится (расходится), то интервал сходимости будет закрытым (открытым).

ИТОГ. Задан СтР. Найти интервал сходимости СтР.

1. Найти R. 2. определить интервал сходимости. 3. исследовать на сходимость концы интервалов.

Ряды Тейлора и Макларена

Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале  (т.е. a-R<x<a+R), может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд по степеням х-а, который называется рядом Тейлора и имеет вид:

 

Это равенство справедливо лишь в том случае, если остаточный член (остаток ряда) формулы Тейлора стремится к нулю (Rn(x)0) при неограниченном возрастании n (), т.е. .

В этом случае написанный справа ряд сходится и его сумма равна данной функции f(x).

f(x)=Sn(x)+Rn(x)  Rn(x)=f(x)-Sn(x)

Sn(x)-сумма первых членов; Rn(x)-остаток ряда.

Для оценки остатка ряда можно пользоваться формулой:

остаток ряда в формуле Ла-Гранда, где «с» заключено между «а» и «х» (а<с<х).

Если в ряде Тейлора а=0, то ряд примет вид:

 

Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Макларена.

1. Разложим в ряд Макларена (то есть по степеням х) функцию ex.

Получаем разложение функции в ряд Макларена.

f(x)=ex, f’(x)=ex,…, f(n)(x)=ex,…; a=0, f(0)=1, f’(0)=1,… f(n)(0)=1

Получаем разложение функции f(x)=ex в ряд Макларена:

I.

a=0, Cn=1/n!

Приведем разложение в ряд Макларена следующих функций.

II.

III.

IV.

V.

Приближенные вычисления значений с помощью рядов.

ПРИМЕР. Вычислить с точностью до 0,001 число .

;

;

;

e1/2=1+0.5+0.125+0.0208+0.0026+0.0003=1.648

Приближенные вычисления интегралов с помощью рядов.

Пример. ............