МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ РФ СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ ХАБАРОВСКИЙ ФИЛИАЛ К У Р С О В А Я Р А Б О Т А ПО ИНФОРМАТИКЕ на тему: РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСЛЕДУЮЩЕЙ АППРОКСИМАЦИЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ
    Работу выполнила:
    студентка I курса
    специальности РРТ (ускор.)
    Турчина
    шифр: 011р-469
    
     2001 г. С О Д Е Р Ж А Н И Е
    Индивидуальное задание - 3 1. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера - Коши - 4 1.1. Теоретические сведения - 4 1.2. Ручной расчёт решаемой задачи - 6 2. Аппроксимация. Метод наименьших квадратов - 9 2.1. Теоретические сведения - 9 2.2. Ручной расчёт коэффициентов системы линейных уравнений - 10 3. Решение системы уравнений методом Гаусса - 11 4. Нахождение значений аппроксимирующей функции - 13 5. Расчёт погрешности аппроксимации - 14 6. Построение блок-схемы и разработка программы аппроксимации - 16
    Литература - 21 ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 1. Решить дифференциальное уравнение y = x + cos ( y / ?0.3 ) с начальными условиями x0 = 0.7 y0 = 2.1 на интервале [ 0.7 ; 1.7 ] с шагом h = 0.1. 2. Оценить погрешность вычислений при решении дифференциального уравнения методом Эйлера - Коши. 3. Аппроксимировать полученное в п.1. решение параболой методом наименьших квадратов. 4. Рассчитать погрешность аппроксимации. 5. Построить графики решения дифференциального уравнения, аппроксимирующей функции и погрешности аппроксимации. 6. Составить блок-схемы алгоритмов и программы для решения дифференциального уравнения, вычисления коэффициентов аппроксимирующей параболы, расчёта погрешности аппроксимации на языке QBASIC. На печать выдать : - значения функции y( xi ), являющейся решением дифференциального уравнения в точках xi, найденные с шагом h и с шагом h/2 ; - значения аппроксимирующей функции F( xi ) в точках xi ; - значение погрешности аппроксимации i = F( xi ) - yi. - величину средне - квадратичного отклонения. 1. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА - КОШИ 1.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ В соответствии с постановкой задачи нужно найти решение дифференциального уравнения первого порядка, т.е. найти такие решения y(x), которые превратили бы дифференциальное уравнение в тождество. Но так как таких решений множество, заданы начальные условия - значения функции y(x) в точке x0, т.е. y(x0) = y0, а так же интервал [ x0 - xn ]. Рис. 1. показывает, что с помощью начальных условий из множества решений можно выбрать одно.
    Рис 1. Множество решений дифференциального уравнения. Метод Эйлера - Коши - наиболее точный метод решения дифференциального уравнения (второй порядок точности). Этот метод предполагает следующий порядок вычислений: yi+1? = yi + h f( xi ; yi ), где i = 0,1,2 ... n
    yi+1 = yi + h (f( xi ; yi ) + f( xi+1 ; yi+1?)) / 2 Число значений n можно найти, разделив интервал на шаг: n = (xn - xo) / h Геометрически это означает, что определяется направление касательной к интегральной кривой в исходной точке хi,yi и во вспомогательной точке хi+1,yi+1?, а в качестве окончательного направления берется среднее этих направлений (показано пунктирной линией на рис. 2)
     Рис.2. Графическая интерпретация метода Эйлера - Коши. Решение yi+1, найденное методом Эйлера - Коши, намного ближе к точному решению, чем решение yi+1?, найденное методом Эйлера. ............