Вариант 1
№ 1
Три стрелка делают по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятности поражения целей равны соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,8, р3 = 0,7.
Найти вероятности того, что:
а) все три стрелка попадают в цель;
б) только один из них попадает в цель;
в) хотя бы один стрелок попадает в цель.
Обозначим события: А – все 3 стрелка попадают в цель; В – только один стрелок попадает в цель; С – хотя бы один стрелок попадает в цель.
Вероятности промахов равны соответственно: q1 = 0,1, q2 = 0,2, q3 = 0,3.
а) Р(А) = р1р2р3 = 0,9∙0,8∙0,7 = 0,504.
б) Р(В) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9∙0,2∙0,3 + 0,1∙0,8∙0,3 + 0,1∙0,2∙0,7 = 0,092.
в) Событие – все три стрелка промахиваются. Тогда
Р(С) = 1 – Р() = 1 – 0,1∙0,2∙0,3 = 1 – 0,006 = 0,994.
№ 11
Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит ровно 5 раз
У нас n достаточно великó, р малó, λ = np = 150 ∙ 0,02 = 3 < 9, k = 5. Справедливо равенство Пуассона: . Таким образом,
№ 21
По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).
хі
1 2 3 4 5
рі
0,05 0,18 0,23 0,41 0,13
Последовательно получаем:
5
М(Х) = ∑ хірі = 0,05 + 2∙0,18 + 3∙0,23 + 4∙0,41 + 5∙0,13 = 3,39.
i=1
5
D(X) = ∑ xi²pi – M² = 0,05 + 2²∙0,18 + 3²∙0,23 + 4²∙0,41 + 5²∙0,13 – 3,39² = i=1
1,1579.
σ(Х) = √D(X) = √1,1579 = 1,076.
№ 31
Случайная величина Х задана интегральной функцией
а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);
б) математическое ожидание и дисперсию величины х;
в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу
;
г) построить графики функций F(x) и f(x).
Последовательно получаем:
а) ;
в) Р(a < x < b) = F(b) – F(a) Þ P= F(1) – F= – 0 = .
Графики функций поданы далее.
№ 41
Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; β) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Данные: α = 2; β = 13; а = 10; σ = 4.
Используем формулу Р(α < x < β) =
Имеем: Р(2 < x < 13) == Ф– Ф(–2).
Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:
Ф– Ф(–2) = Ф+ Ф(2) = 0,2734 + 0,4772 = 0,7506.
№ 51
По данному статистическому распределению выборки
хі
4 5,8 7,6 9,4 11,2 13 14,8 16,6
mі
5 8 12 25 30 20 18 6
Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.
Для решения задачи введём условную переменную
, где С – одно из значений хі, как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h – это шаг (у нас h = 1,8).
Пусть С = 11,2. Тогда .
Заполним таблицу:
xi
mi
xi´
ximi
(xi´)²mi
4 5 – 4 – 20 80 5,8 8 – 3 – 24 72 7,6 12 – 2 – 24 48 9,4 25 – 1 – 25 25 11,2 30 0 0 0 13 20 1 20 20 14,8 18 2 36 72 16,6 6 3 18 54 ∑ = 124 ∑ = – 19 ∑ = 371
Используя таблицу, найдём ;
D(x´) = ∑(xi´)²mi – (xi´)² = – (– 0,1532)² = 2,9685.
Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):
_
x = x´h + C = – 0,1532∙1,8 + 11,2 = 10,9242; D(x) = D(x´)∙h² = 2,9685∙1,8² = 9,6178;
σ(x) = √D(x) = √9,6178 = 3,1013.
№ 61
По данной корреляционной таблице найти выборочное уравнение регрессии.
у х 6 9 12 15 18 21
ny
5 4 2 6 15 5 23 28 25 18 44 5 67 35 1 8 4 13 45 4 2 6
nx
4 7 42 52 13 2 n = 120
Для упрощения расчетов введем условные переменные
u = , v = . ............
