Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя.
    Лопіталь де Гійом Франсуа (1661-2.02.1704 рр.). Французький математик, член Парижської АН, народився в Парижі, вивчав математику під керівництвом У. Бернуллі. Видав перший друкований підручник по диференціальному обчисленню - "Аналіз нескінченно малих" (1696р.). В підручнику є правило Лопіталя - правило знаходження межі дробу, чисельник і знаменник якого прямує до 0. Крім того, він створив курс аналітичної геометрії конічних перетинів. Йому також належить дослідження і розвиток за допомогою математичного аналізу декількох важких задач по геометрії і механіці, а також одне із рівнянь знаменитої задачі о браністохроні.
    Правило Лопіталя.
    Нехай виконані умови:
    функції f(х) та g(х) визначені і диференційовані в колі точки х0;
    частка цих функцій в точці х0 має невизначеність вигляду або ;
    існує .
    Тоді існує і виконує рівність:
    (1)
    а) Наслідок.
    Нехай:
    1. Визначені в колі точки х0 функції f(х), g(х) та їх похідні до n-го порядку включно;
    2. Частки , , ..., мають невизначеність вигляду або ;
    3. Існує , тоді
    (2)
    б) Приклад 1.
    Знайти: .
    Розв'язання:
    Функції та визначені з усіма своїми похідними в околі точки х=0.
    Маємо:
    .
    2) Розкриття невизначеностей виду: ?-?; 0•?; 1?; 00; ?0.
    Існують прийоми, що дозволяють зводити вказані невизначеності до невизначеностей вигляду або , які можна розкривати з використанням правила Лопіталя.
    Нехай і , тоді
    (3)
    За умовою при , тому при .
    Якщо не прямує до 0 при , то границя в правій частині (3) не існує, а тому і границя лівої частини (3) не існує.
    Якщо при , то вираз має невизначеність .
    2. Нехай , , тоді має невизначеність вигляду при .
    В цьому випадку поступають так:
    
    Під знаком останньої границі маємо невизначеність .
    3. Нехай , при . Тоді має невизначеність вигляду .
    Позначимо . Шляхом логарифмування цієї рівності одержимо:
    
    Отже, обчислення натурального логарифма границі зводиться до розкриття невизначеності вигляду .
    4. Невизначеності вигляду та зводять до невизначеностей або шляхом логарифмування аналогічно до невизначеності вигляду .
    а) Приклад 2.
    Знайти границю .
    Розв'язання:
    Функції та диференційовані, а їх частка має невизначеність вигляду при .
    Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:
    .
    б) Приклад 3.
    Знайти границю .
    Розв'язання:
    В цьому випадку маємо невизначеність вигляду . Позначимо і про логарифмуємо цю рівність. Одержимо:
    , тобто невизначеність вигляду . Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:
    .
    Отже, .
    в) Приклад 4.
    Знайти границю .
    В цьому випадку маємо невизначеність вигляду . Нехай . Логарифмуючи цю рівність, одержимо:
    .
    Чотири рази застосували правило Лопіталя. ............