Курсова робота

"Рішення систем диференціальних рівнянь за допомогою неявної схеми Адамса 3-го порядку"

Введення

Бурхливий розвиток в останнє десятиліття інформаційних технологій і комп'ютерної техніки сприяє виникненню усе більше складних математичних задач, для рішення яких без застосування чисельних методів потрібне значний час. Дуже часто перед фахівцем виникають задачі, що не вимагають абсолютно точного рішення; як правило, потрібно знайти наближене рішення із заданою погрішністю. Поряд з удосконалюванням комп'ютерної техніки відбувається процес удосконалювання й чисельних методів програмування, що дозволяють за мінімальний відрізок часу одержати рішення поставленої задачі із заданим ступенем точності.

Однієї з таких задач є рішення систем диференціальних рівнянь. Звичайними диференціальними рівняннями можна описати поводження матеріальних крапок у силовому полі, закони хімічної кінетики, рівняння електричних кіл і т.д. Ряд фізичних задач може бути зведені до рішення диференціальних рівнянь або системи диференціальних рівнянь. Задача рішення системи диференціальних рівнянь має важливе прикладне значення при рішенні наукових і технічних проблем. Крім того, вона є допоміжною задачею при реалізації багатьох алгоритмів обчислювальної математики, математичної фізики, обробки результатів експериментальних досліджень. Тому для інженерів надто важливо грамотно знаходити рішення цієї задачі.

1. Постановка задачі

Необхідно вирішити із заданим ступенем точності задачу Коші для системи диференціальних рівнянь на заданому інтервалі [a, b]. Домогтися погрішності на другому кінці не більше 0,0001. Результат одержати у вигляді таблиці значень наближеного й точного рішень у крапках заданого інтервалу. Побудувати графіки отриманих рішень і зрівняти їх з точним рішенням.

Вихідні дані:

– система диференціальних рівнянь виду:

– інтервал, на якому шукається рішення: [a, b]

– погрішність, з якої шукається рішення: е

– формулювання задачі Коші в початковій крапці заданого інтервалу: u(a)=u, v(a)=v

Вихідні дані:

– таблиця значень наближеного й точного рішень у вузлах заданої сітки;

– графіки отриманих і точних рішень.

2. Опис математичних методів рішення задачі

Конкретна прикладна задача може привести до диференціального рівняння будь-якого порядку або до системи таких рівнянь. Довільну систему диференціальних рівнянь будь-якого порядку можна привести до деякої еквівалентної системи диференціальних рівнянь першого порядку. Серед таких систем виділяють клас систем, дозволених відносно похідній невідомих функцій:

 (2.1)

Диференціальне рівняння або система диференціальних рівнянь має нескінченну множину рішень. Єдині рішення виділяють за допомогою додаткових умов, яким повинні задовольняти шукані рішення. Залежно від виду таких умов розглядають три типи задач, для яких доведене існування й одиничність рішень.

Перший тип – це задачі Коші, або задачі з початковими умовами. Для таких задач крім вихідного рівняння в деякій крапці a повинні бути задані початкові умови, тобто значення функції u1 (a),…, um(a):

u1 (a)=,…, um(a)=(2…2)

До другого типу задач ставляться так звані граничні, або крайові задачі, у яких додаткові умови задаються у вигляді функціональних співвідношень між шуканими рішеннями. ............