Міністерство освіти і науки України
Приватний вищий навчальний заклад
Європейський університет
Запорізька філія
Контрольна робота
з дисципліни: Теорія ймовірності і математична статистика
Варіант № 5 - Схема Бернуллі
Виконав
Перевірив:
Запоріжжя,
2007р.
СХЕМА БЕРНУЛЛІ
У багатьох задачах теорії ймовірностей, статистики та повсякденної практики треба досліджувати послідовність (серію) п випробувань. Наприклад, випробування "кинуто 1000 однакових монет" можна розглядати як послідовність 1000 більш простих випробувань - "кинута одна монета". При киданні 1000 монет імовірність появи герба або надпису на одній монеті не залежить від того, що з'явиться на інших монетах. Тому можна казати, що у цьому випадку випробування повторюються 1000 разів незалежним чином.
Означення 1. Якщо усі п випробувань проводити в однакових умовах і імовірність появи події А в усіх випробуваннях однакова та не залежить від появи або непояви А в інших випробуваннях, то таку послідовність незалежних випробувань називають схемою Бернуллі.
Нехай випадкова подія А може з'явитись у кожному випробуванні з імовірністю Р(А) = р або не з'явитись з імовірністю q = Р{А) = 1 - р.
Поставимо задачу: знайти імовірність того, що при п випробуваннях подія А з'явиться т разів і не з'явиться п - т разів. Шукану імовірність позначимо Рп(т).
Спочатку розглянемо появу події А три рази в чотирьох випробуваннях. Можливі такі події
тобто їх
Якщо подія А з'явилася 2 рази в 4 випробуваннях, то можливі такі події
У загальному випадку, коли подія А з'являється т разів у п випробуваннях, таких складних подій буде
Обчислимо імовірність однієї складної події, наприклад,
Імовірність сумісної появи п незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій згідно з теоремою множення ймовірностей, тобто
Кількість таких складних подійі вони несумісні. Тому, згідно з теоремою додавання ймовірностей несумісних подій, маємо
Формулу (1) називають формулою Бернуллі. Вона дозволяє знаходити імовірність появи події А т разів при п випробуваннях, які утворюють схему Бернуллі.
Зауваження 1. Імовірність появи події Арп випробуваннях схеми Бернуллі менш т разів знаходять за формулою
Імовірність появи події А не менше т разів можна знайти за формулою
або за формулою
Імовірність появи події А хоча б один раз у п випробуваннях доцільно знаходити за формулою
Зауваження 2. У багатьох випадках треба знаходити найбільш імовірне значення то числа т появ події А. Це значення т визначається співвідношеннями
Число то повинно бути цілим. Якщо (п + 1)р - ціле число, тоді найбільше значення імовірність має при двох числах
Зауваження 3. Якщо імовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р, то кількість п випробувань, які необхідно здійснити, щоб з імовірністю Р можна було стверджувати, що подія А з'явиться хоча б один раз, знаходять за формулою,
Приклад 1. Прилад складено з 10 блоків, надійність кожного з них 0.8. ............
