КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 9
ВАРИАНТ 9.3.
Найти область сходимости указанных рядов
9.3.1.
а)
По признаку Лейбница для знакопеременных рядов ряд сходится условно (соответствующий ряд Дирихле расходиться)
.
б)
Отсюда следует, что при ряд сходится, т.е. при . При ряд расходится.
Рассмотрим случай
Для данного ряда выполняется теорема Лейбница для знакопеременных рядов Ряд сходится условно, т.к. ряд
При аналогично получим ряд , ряд сходится условно.
Ответ:
9.3.2.
а)
. По признаку Даламбера ряд сходится, если .
Ряд будет сходится при
Первый случай или
В промежутке ряд сходится.
Второй случай
В промежутке 1<x<l ряд сходится. Объединяем интервалы и получим . Рассмотрим концы интервала.
При x=1 получим ряд , т.е. ряд вида — -1+1-1+1-1+…
Данный ряд расходится, т.к. его сумма имеет два различных предела (колеблющийся ряд).
При получим ряд т.е. ряд вида 1+1+1+…; ряд расходится, т.к.
б)
Ряд будет сходиться при .
1)
в интервале ряд сходится.
2)
в интервале 3<x<8 ряд сходится.
Общий интервал сходимости –2<x<8.
На концах интервала х=-2, имеем ряд:
— расходящийся гармонический ряд.
в п.9.3.1 б) показано, что ряд сходится условно.
Ответ: (-2,8]
9.3.3.
а)
Ряд сходится при условии
1)
Решим неравенство:
корней нет, следовательно: — всегда.
Ветви параболы направлены вверх, получаем два интервала: Здесь ряд сходится.
Исследуем концы интервалов:
1) . Получаем ряд: . Ряд расходится, т.к. все его члены не меньше расходящегося гармонического ряда .
2)
б)
.
Ряд сходится при .
1) интервал сходимости .
2) интервал сходимости .
Исследуем границы интервала.
1)
По теореме Лейбница ряд сходится, причем условно, т.к. ряд — расходится.
2) .
Сравним с рядом по второму признаку сравнения
расходится, то расходится и ряд .
3.9.4.
а)
Ряд сходится при
1) тогда
корней нет, .
Решаем неравенство:
.
Решаем полученное неравенство:
В промежутке (1,3) ряд сходится.
На концах интервала имеем:
1)
Ряд расходится, т.к. .
2)
б)
Ряд сходится при условии или
Интервал сходимости .
На концах интервала.
1)
— ряд расходится, т.к. расходится ряд .
2)
Ряд, как предыдущий, но все члены отрицательны.
9.3.5.
а)
Ряд сходится при условии .
1)
2)
Исследуем концы интервала:
1)
2)
б)
Ряд сходится при условии откуда
9.3.6.
а)
Ряд сходится при
и корней нет, следовательно, имеет условие
Интервал сходимости .
Исследуем концы интервалов:
1)
Ряд знакочередующийся, проверим условие Лейбница
— выполняется
Ряд сходится при
Получим такой же ряд.
б)
Проверяем признак Даламбера:
Условие сходимости
На концах интервала имеем:
1)
Ряд знакочередующийся, признак Лейбница выполняется.
Ряд сходится условно при .
Получим такой же ряд, но члены имеют обратные знаки.
.
9.3.7.
а)
Проверяем концы интервалов
1)
Признак Лейбница выполняется, ряд сходится.
При получится такой же ряд (т.к. ............
