МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
    
    
    
    Математический факультет
    Кафедра прикладной математики
    
    
     ДИПЛОМНЫЙ ПРОЕКТ
    
    СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ В ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
    
    
    
    Заведующий кафедрой прикладной
    математики
    
    Исполнил:
    
    Научный руководитель
     Владикавказ 2002
    СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 3 ГЛАВА 1. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 7
    1.1. ЗАДАЧА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 7
    1.2. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ ГИВЕНСА 9
    1.3. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАУСХОЛДЕРА 10
    1.4. СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ 11
    1.5. QR-РАЗЛОЖЕНИЕ 15
    1.6. ЧИСЛО ОБУСЛОВЛЕННОСТИ 20 ГЛАВА 2. РЕАЛИЗАЦИЯ СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ 25
    2.1. АЛГОРИТМЫ 25
    2.2. РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗЛОЖЕНИЯ 27
    2.3. ПРИМЕР СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ 29 ГЛАВА 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ В МЕТОДЕ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 33 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 38 ЛИТЕРАТУРА 39 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ИСХОДНЫЕ ТЕКСТЫ ПРОГРАММЫ 40 ПРИЛОЖЕНИЕ 2. КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР 45 ВВЕДЕНИЕ
    Метод наименьших квадратов обычно используется как составная часть некоторой более общей проблемы. Например, при необходимости проведения аппроксимации наиболее часто употребляется именно метод наименьших квадратов. На этом подходе основаны: регрессионный анализ в статистике, оценивание параметров в технике и т.д.
    Большое количество реальных задач сводится к линейной задаче наименьших квадратов, которую можно сформулировать следующим образом.
    Пусть даны действительная m?n-матрица A ранга k?min(m,n) и действительный m-вектор b. Найти действительный n-вектор x0, минимизирующий евклидову длину вектора невязки Ax-b.
    Пусть y - n-мерный вектор фактических значений, x - n-мерный вектор значений независимой переменной, b - коэффициенты в аппроксимации y линейной комбинацией n заданных базисных функций ?: .
    Задача состоит в том, чтобы в уравнении подобрать такие b, чтобы минимизировать суммы квадратов отклонений e=y-Xb, где X - есть так называемая матрица плана, в которой строками являются n-мерный вектора с компонентами, зависящими от xj: каждая строка соответствует определенному значению xj. Коэффициенты можно найти решая нормальные уравнения , откуда . Покажем это. Возведем в квадрат выражение для е: т. к. .
    Это выражение имеет экстремум в точке, где =0
    Откуда и получаем .
    Следует отметить, что последнее выражение имеет в определенной степени формальный характер, т. к. решение нормальных уравнений, как правило, проводится без вычисления обратной матрицы (метод Крамера) такими методами как метод Гаусса, Холесского и т. д.
    Пример. Пусть заданы результаты четырех измерений (рис. 1): y=0 при x=0; y=1 при x=1; y=2 при x=3; y=5 при x=4. Задача заключается в том, чтобы провести через эти точки прямую таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальна. Запишем уравнение, описывающее проведение прямой по результатам измерений. Мы получаем переопределенную систему:
    или Xb=y. ............