СИСТЕМИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

(реферат)

Вступ

 

N-вимірний вектор  (t-індекс транспонування) називається випадковим, якщо його координати є випадковими величинами. Вектор  називають дискретним, якщо його координати - дискретні випадкові величини, неперервним, якщо його компоненти - неперервні випадкові величини і змішаним, якщо частина його компонент – дискретні випадкові величини, а інша частина – неперервні випадкові величини. Випадкові N-вимірні вектори називають ще системою N випадкових величин або багатовимірними випадковими величинами. В подальшому розглядаються двовимірні випадкові вектори (системи двох випадкових величин), які позначаються .

1. Розподіли системи двох випадкових величин

Система двох дискретних випадкових величин однозначно визначається сумісним розподілом ймовірностей, який можна задати матрицею

y1 y2 … ym

, (1.1)

().

Стовпчики матриці відповідають значенням  випадкової величини Y , а рядки – значенням  випадкової величини X. Події  утворюють повну групу подій, тому сума елементів матриці  дорівнює 1:

.

Розподіли

,

називають розподілами компонент системи двох випадкових величин . Події , ,...,  є несумісними, тому за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій сума елементів і-рядка матриці  дорівнює ймовірності значення :

.(1.1а)

Аналогічно, сума елементів j-стовпчика дорівнює ймовірності значення :

.(1.1b)

 

Приклад 1.1. Система двох випадкових величин  задана сумісним розподілом

y1 y2

Знайти розподіли компонент системи випадкових величин.

Розв’язування. За формулами (1.1а) та (1.1b)

;

;

;

; .

Отже, розподіли компонент

.

Будь-який двовимірний випадковий вектор (неперервний чи дискретний) однозначно визначається інтегральною функцією сумісного розподілу

, (1.2)

яка визначає ймовірність того, що випадкова величина X приймає значення менше ніж x, а  - менше ніж y. Геометрична інтерпретація інтегральної функції сумісного розподілу полягає в тому, що вона визначає ймовірність попадання випадкової точки  у нескінченний заштрихований квадрат із вершиною в точці  (рис 1.1).

Інтегральна функція розподілу випадкового вектора  має такі очевидні властивості.

Властивість 1.

 

.

Властивість 2. Функція  неспадна по кожному аргументу

, якщо ;

, якщо .

Властивість 3. Мають місце граничні співвідношення

, , , .

Властивість Для функція  мають місце ще і такі граничні співвідношення

,

,

 - інтегральна функція розподілу компоненти X випадкового вектора .

 - інтегральна функції розподілу компоненти Y випадкового вектора .

З використанням функції розподілу (1.2) легко можна обчислити ймовірність попадання випадкової точки у напівсмугу  та (рис 1.2)

,  (1.3а)

.(1.3б)

Імовірність попадання випадкової точки у напівсмугу дорівнює приросту інтегральної функції сумісного розподілу по відповідному аргументу.

Доведення. Імовірність попадання у напівсмугу  дорівнює різниці ймовірності попадання точки у нескінченний квадрат з вершиною  ()і ймовірності попадання точки у нескінченний квадрат з вершиною (. ............