Высшая математика

Контрольная работа №1

Вариант 3

 

Задание №1

 

Дана система линейных алгебраических уравнений:

Требуется:

1)  Записать матрицу коэффициентов (А) и свободных членов ();

2)  Решить систему методом Гаусса и (в случае её невырожденности) Крамера.

Решение.

1)  Запишем матрицу коэффициентов:

Матрица свободных членов:

2)  Решим систему методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем её методом Гаусса (приведём к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк):

Шаг 1: из строки 2 вычитаем строку 1, умноженную на 2;  из строки 3 вычитаем строку 1;

Шаг 2: из строки 3 вычитаем строку 2;

Получили вырожденную систему уравнений, так как если записать уравнение по последней строке преобразованной матрицы, получим 0 = -1, что неверно. Значит, заданная система не имеет решений.

Ответ: решения системы не существует.

 

Задание №2

 

 Решить матричное уравнение:

АXBт + m AB = С

, и , m=2.

 

Решение.

Для того, чтобы решить заданное матричное уравнение, перенесём все известные слагаемые в правую часть, а неизвестные оставим в левой:

Затем обе части уравнения домножим справа на матрицу, обратную к транспонированной матрице В, и домножим слева на матрицу, обратную к матрице А, получим:

где Е – единичная матрица.

Для того, чтобы найти Х, найдём все необходимые матрицы, затем перемножим их.

 (*)

Запишем транспонированную матрицу Bт, для чего на место столбцов запишем соответствующие строки:

Вычислим произведение матриц А и В, затем умножим полученную матрицу на m=2:

Вычтем полученную матрицу из матрицы С:

Теперь найдём матрицы .

Подставляем все найденные матрицы в уравнение (*)

 

Ответ: .

Задание №3

 

Даны векторы:

, и .

 

Требуется:

1)  – найти длину вектора ;

2)  - вычислить скалярное произведение ;

3)  – найти координаты вектора ;

4)  – установить, является ли система векторов ,, линейно зависимой.

Решение.

1)  Длина (модуль) вектора  находится по формуле:

 

Значит, длина вектора равна:

 

2)  Скалярное произведение векторов  и  ищется следующим образом:

Подставляем координаты векторов  и .

3)  Сложение и вычитание векторов заключается в поэлементном соответственно сложении или вычитании их координат. Чтобы умножить вектор на число, необходимо умножить каждую координату вектора на это число. Поэтому:

Для того, чтобы определить, является ли система из трёх векторов, линейно независимой, достаточно вычислить определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов. Если определитель окажется равным 0, значит, система векторов линейно зависима; если определитель будет отличен от 0 – система векторов линейно независима. Координаты векторов будут строками определителя. Вычислим определитель, разложив его по первому столбцу.

Так как определитель не равен 0, значит, система векторов линейно независима.

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) система векторов линейно независима.

 

Задание №4

 

Даны координаты точек:

Требуется:

1)  найти общее уравнение прямой , проходящей через точки А1 и А2;

2)  найти уравнение прямой , проходящей через точку  параллельно прямой ;

3)  найти расстояние между прямыми и ;

4)  написать уравнение прямой, проходящей через точку  перпендикулярно прямой  и найти координаты точки пересечения этих прямых;

5)  построить схематический чертеж.

Решение.

1)  Сначала запишем уравнение прямой, проходящей через две точки М1(x1,y1) и М2(x2,y2):

 

Подставляем координаты точек А1 и А2 и получаем:

Преобразуем полученное уравнение и получим общее уравнение прямой :

2)  Запишем уравнение прямой  в виде :

Если прямые параллельны, то они имеют одинаковый коэффициент k. Значит прямая  имеет вид . ............