Дипломная работа

"Системы с постоянной четной частью"

Содержание

Введение. 3

1. Четные и нечетные вектор-функции. 4

2. Основные сведения из теории отражающих функций. 6

3. Системы чёт-нечет. 11

4. Построение примеров систем, четная часть общего решения которых постоянная  14

5. Простые и простейшие системы.. 22

6. Построение множества систем, четная часть общего решения которых постоянна  26

6.1 Системы, имеющие постоянную четную часть. 26

6.2 Построение систем с заданной четной частью.. 27

Заключение. 31

Список использованных источников…………………………………………   25

Введение

Основным инструментом нашего исследования является понятие отражающей функции. Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем.

При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.

В данной работе мы будем рассматривать семейства решений с постоянной четной частью, т.е. когда четная часть будет представлена в виде константы.

Разберем примеры систем, семейства решений которых имеют постаянную четную часть. Будем изучать построение систем с заданной четной частью.

1. Четные и нечетные вектор-функции

По аналогии с вещественными функциями одной переменной, вектор-функцию ,  будем называть четной (нечетной), если для всех ,  является четной (нечетной) функцией, т.е. область определения  симметрична относительно нуля и  ().

Любую функцию с симметричной областью определения, можно представить как сумму четной и нечетной функций. Действительно, если

и

то

и  является четной функцией, а  – нечетной.

 будем называть четной частью функции ,  – нечетной.

Отметим следующие свойства четных и нечетных функций.

Свойство 1 Производная дифференцируемой четной (нечетной) функции есть функция нечетная (четная).

Доказательство. a)  – четная функция.

Т.к.  и  существуют или не существуют одновременно, то ,  и . Таким образом, производная четной функции есть функция нечетная.

б)  – нечетная функция.

Т.к.  и  существуют или не существуют одновременно, то ,  и . Таким образом, производная нечетной функции есть функция четная.

Свойство 2 Если  – нечетная функция, то .

Доказательство. Поскольку  – нечетная функция, то

Подставив вместо   получаем

Откуда следует

2. Основные сведения из теории отражающих функций

Рассмотрим систему

   (1)

считая, что её правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение этой системы в форме Коши обозначим через . Через  обозначим интервал существования решения

Пусть

Определение: Отражающей функцией системы (1) назовем дифференцируемую функцию

определяемую формулой

                            (2)

 

или формулами

Для отражающей функции справедливы свойства:

1) Для любого решения

системы (1) верно тождество

                             (3)

2) Для отображающей функции  любой системы выполнены тождества:

                 (4)

3) Дифференцируемая функция

будет отражающей функцией системы (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям в частных производных

               (5)

и начальному условию

                                     (6)

Уравнение (5) будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.

Доказательство. ............