Складність деяких методів експоненціювання точки кривої
Найпоширенішою операцією у всіх криптографічних алгоритмах є - кратне додавання точки , позначуване як
Цю операцію звичайно називають скалярним множенням, або, звертаючись до термінології мультиплікативної групи, експоненціюванням точки кривої.
З метою підвищення продуктивності під час обчислення точки багатьма авторами запропоновано різні методи. Дамо стислий опис й оцінку складності найпоширеніших з них.
Підхід до розрахунку точки може відрізнятися залежно від того, чи є точка фіксованою (заздалегідь відомою) або довільною точкою. У першому випадку завжди можна користуватися передрозрахунками точок, наприклад, , які зберігаються в пам'яті. Двійкове подання числа дозволяє селектрувати ті з них, які в результаті підсумовування утворять точку . У другому, більш загальному випадку, всі обчислення доводиться проводити в реальному часі.
Нехай порядок і число подано у двійковій системі
Розглянемо спочатку основні алгоритми експоненціювання при невідомій заздалегідь точці
експоненціювання алгоритм скалярне множення
Алгоритм подвоєння-додавання
Це найприродніший і найпростіший метод, при якому обчислення здійснюються за формулою
Ці обчислення на основі методу розрахунку ліворуч-праворуч здійснюються за допомогою наступного алгоритму.
Алгоритм 1.
Вхід:
Вихід:
1.
2.
2.1
2.2
3. .
Реалізація методу вимагає операцій подвоєння точки й додавань , де - вага Хеммінга двійкового вектора (число одиниць цього вектора). Оскільки в середньому число одиниць випадкового вектора дорівнює , загальне число групових операцій оцінюється величиною
Алгоритм подвоєння-додавання-віднімання
Попередній алгоритм можна вдосконалити, якщо вести додаткову операцію-віднімання точки. Цей метод запропонований в 1990 році Ф. Морейном і Дж. Олівосом. Наприклад, число у двійковій системі має вага у , але його можна подати як з вагою Ця ідея знижує вагу Хеммінга і, відповідно, число групових операцій. Реалізувати алгоритм подвоєння - додавання віднімання можна переходом від двійкового подання числа до трійкового з коефіцієнтами Одне із властивостей подання - відсутність у ньому суміжних пар ненульових елементів, завдяки чому зростає питома вага нульових елементів . Для розрахунку використовується наступний алгоритм.
Алгоритм 2.
Вхід: позитивне ціле число
Вихід:
1.
2.
2.1
2.2
2.3
3.
Після розрахунку обчислюється точка методом ліворуч-праворуч за допомогою алгоритму 3.
Алгоритм 3.
Вхід:
Вихід:
1.
2.
2.1
2.2
2.3
3. .
-подання числа може виявитися на один біт більше двійкового. Водночас, для випадкового ймовірність ненульових елементів і знижується від до , тобто, у середньому, для - розрядного числа їхня кількість оцінюється величиною . Тоді загальне середнє число групових операцій додавання й подвоєння в алгоритмі 3 можна оцінити як суму
Метод вікон з алгоритмом подвоєння - додавання - віднімання
Якщо в криптосистемі є резерви пам'яті, їх можна задіяти для подальшого збільшення швидкості обчислень. Ідея в тому, що замість точки можна експоненціювати і надалі складати суміжні блоки або вікна шириною в - поданні точки
Для цього розраховується за допомогою алгоритму 2 трійкове число , що потім може розбиватися на блоки довжиною, не менше
Назвемо - вікном числа непарний коефіцієнт утримуючий хоча б один ненульовий елемент. ............
