Случайные величины

 

Оглавление

 

Случайные величины.. 2

Функция распределения вероятностей.. 3

Основные свойства функции распределения вероятностей.. 5

Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины   6

Плотность распределения вероятностей.. 7

Плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины   9

Примеры плотностей и функций распределения вероятностей.. 10

Сингулярные случайные величины.. 13

Математическое ожидание случайной величины.. 15

Примеры вычисления математического ожидания случайной величины.. 17

Свойства математического ожидания. 19

Дисперсия случайной величины.. 20

Моменты случайной величины.. 22

Неравенство Чебышева. 23

Коэффициент асимметрии.. 25

Коэффициент эксцесса. 26

Среднеквадратическая ошибка. 27

Характеристическая функция. 28

Основные свойства характеристической функции.. 29

Примеры вычисления характеристической функции.. 30

Моменты, кумулянты и характеристическая функция. 31

 

Случайные величины

Выше рассматривались эксперименты, результаты которых являются случайными событиями. Однако часто возникает необходимость количественного представления результатов эксперимента в виде некоторой величины , которая называется случайной величиной. Случайная величина является вторым (после случайного события) основным объектом изучения теории вероятностей и обеспечивает более общий способ описания опыта со случайным исходом, чем совокупность случайных событий.

Рассматривая эксперименты со случайным исходом, мы уже имели дело со случайными величинами. Так, число успехов  в серии из  испытаний - пример случайной величины. Другими примерами  случайных величин являются: число вызовов на телефонной станции за единицу времени; время ожидания очередного вызова; число частиц с заданной энергией в системах частиц, рассматриваемых в статистической физике; средняя суточная температура в данной местности и т.д.

Случайная величина характерна тем, что невозможно точно предсказать ее значение, которое она примет, но с другой стороны, множество ее возможных значений обычно известно. Так для числа успехов в последовательности из  испытаний это множество конечно, поскольку число успехов может принимать значения . Множество значений случайной величины, может совпадать с вещественной полуосью , как в случае времени ожидания и т.д.

Рассмотрим примеры экспериментов со случайным исходом, для описания которых обычно применяются случайные события и введем эквивалентное описание с помощью задания случайной величины.

1). Пусть результатом опыта может быть событие  или событие . Тогда этому эксперименту можно поставить в соответствие случайную величину , которая принимает два значения, например,  и  с вероятностями  и , причем имеют место равенства:  и . Таким образом, опыт характеризуется двумя исходами  ис вероятностями  и , или этот же опыт характеризуется случайной величиной , принимающей два значения  и  с вероятностями  и .

2). Рассмотрим опыт с бросанием игральной кости. Здесь исходом опыта может быть одно из событий , где  - выпадение грани с номером . Вероятности , . Введем эквивалентное описание этого опыта с помощью случайной величины , которая может принимать значения  с вероятностями , .

3). Последовательность  независимых испытаний характеризуется полной группой несовместных событий , где  - событие, состоящее в появлении  успехов в серии из  опытов; причем вероятность события  определяется формулой Бернули, т.е. ............