МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ

БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

 

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Допущена к защите

Зав. кафедрой

 

СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

Дипломная работа

Исполнитель:

студентка группы М-51 Абраменко Т. Ф.

Научный руководитель: 

доцент кафедры дифференциальных

уравнений, к. ф.-м. н. Зверева Т.Е.

Рецензент:

доцент кафедры ВМ и

программирования, к. ф.-м. н. Смородин В.С.

Гомель 2003

Содержание

 

ВВЕДЕНИЕ

1 НЕОБХОДИМЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

2 СООТНОШЕНИЕ

3 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ДЛЯ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

3.1 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с произвольными коэффициентами

3.2 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с постоянными коэффициентами

4 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ НЕКОТОРОЙ ЛИНЕЙНОЙ ОДНОРОДНОЙ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ. СЛУЧАЙ

4.1 Старший показатель некоторой линейной однородной диагональной системы

4.2 Верхний центральный показатель некоторой линейной однородной диагональной системы

5 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕРХНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

 

В данной дипломной работе проводится изучение таких понятий, как верхний центральный показатель системы, характеристические показатели Ляпунова; рассматриваются различные соотношения между старшим и верхним центральным показателями линейных систем, то есть рассматриваются случаи, когда старший показатель Ляпунова строго меньше, равен верхнему центральному показателю.

В дипломной работе проводится исследование конкретной линейной однородной диагональной системы: вычисляются характеристические показатели системы, находятся спектр системы, старший показатель системы, а также верхний центральный показатель этой же системы, устанавливается соотношение  На конкретном примере выясняется, что роль оценки сверху показателей решений возмущенных систем

играет число , а не .

1. НЕОБХОДИМЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

 

Определение 1.1 [1,с.123]. Наибольший из частичных пределов a функции  при  называется ее верхним пределом:

.

Определение 1.2 [1,с.125]. Число (или символ  или ), определяемое формулой

.

будем называть характеристическим показателем Ляпунова (или характерисическим показателем).

Для показательной функции  , очевидно, имеем

.

Лемма 1.1 [1,с.132]. Характеристический показатель конечномерной матрицы  совпадает с характеристическим показателем ее нормы, то есть

.

Для вектор-столбца

будем использовать одну из норм [1,с.20]:

 = ;  = ;  = .

Свойства характеристического показателя функции [1,с.126,128]:

1)  =  , ;

2)  .

Замечание 1.1 [1,с.130]. Если линейная комбинация функций

, ,

где  постоянны, содержит лишь одну функцию с наибольшим характеристическим показателем, то

 = .

Определение 1.3 [1,с.142]. Система ненулевых вектор-функций

 

обладает свойством несжимаемости, если характеристичесий показатель любой существенной их линейной комбинации

, ,

где  постоянны, совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых вектор-функций, то есть для всякой комбинации y имеем

 = .

Определение 1.4 [1,с.137]. ............