Структуризация и систематизация сюжетных задач по сложности их решения Н.Г. Рыженко, Н.А. Жигачева, Омский государственный педагогический университет, кафедра методики преподавания математики
    Анализ школьной практики показывает, что формирование умения у учащихся вести поиск решения сюжетных задач, организация стратегии и тактики этого поиска учителем невозможна без выявления структуры решения задачи - основных ее частей (структурных элементов) и отношений между ними. Предварительно напомним определение некоторых используемых понятий [1, 2].
    Определение 1. Отношением R на множестве M называется подмножество R множества MxM = M2.
    Пусть M = {0; 2; 5; 7}, тогда M2 = {??0;0?; ?0;2?; ?0;5?; ?0;7?; ?2;0?; ?2;2?;??2;5?; ?2;7?; ?5;0?; ?5;2?; ?5;5?; ?5;7?; ?7;0?; ?7;2??; ?7;5?; ?7;7?}.
    Из множества M2 выделим подмножество R тех пар ? x;y???, в которых x???y. Выпишем эти пары: {??2;0?; ?5;0?; ?5;2?; ?7;0?; ?7;2?; ?7;5?}. Если ??x; y???? R, то "х находится в отношении R с у" или xRy. Само выражение xRy называется соотношением.
    Определение 2. Отношение R на множестве M называется отношением строгого порядка (или строгим порядком), если оно антирефлексивно и транзитивно. Множество M с заданным на нем отношением строгого порядка R, т.е. пару ?M; R??, называют упорядоченным множеством. Наглядно отношение строгого порядка можно представить в виде модели.
    Определение 3. Моделью называется кортеж ?M; R1, R2, ..., Rm ??, где M - некоторое множество, а R1, R2,..., Rm - отношения на этом множестве (не обязательно бинарные).
    В педагогических исследованиях широкое применение получили модели, в которых в качестве структуры объекта исследования выступает граф.
    Определение 4. Графом Г называется непустое множество M и множество отношений, заданных на M [2].
    Граф (рис.1) является моделью бинарного отношения R. Круги, соответствующие числам, - вершины графа; ориентированные отрезки, соединяющие вершины - ребра графа (дуги). Это модель ??M;????с одним (бинарным) отношением строгого порядка.
    
    Рис. 1
    Рассмотрим специальный класс отношений строгого порядка - так называемые древесные порядки. Пусть имеется множество M с отношением строгого порядка ??. Элемент x0 называется наибольшим, если для всякого у ? M, отличного от x0, выполнено соотношение у???x0. Очевидно, что наибольший элемент, если он существует, единствен.
    Определение 5. Отношение строгого порядка ??на множестве M называется отношением древесного порядка (или древесным порядком), если
    1) из того, что x???у и x???z следует, что у и z сравнимы;
    2) во множестве ??М, ????, существует наибольший элемент.
    Множество M с заданным на нем древесным порядком называют деревом, а наибольший элемент - корнем дерева. Для конечного дерева существует числовая характеристика - сложность дерева, которую будем отождествлять со сложностью решения задачи.
    На рис.2 изображены деревья, имеющие одинаковое число вершин, и показан способ нахождения сложности дерева (?(Дi)).
    
    Рис. 2
    Так, например, сложность вершины ?(x1) = 2·7, где 2 - число ребер, входящих в x1; 7 - число всех вершин, включая и саму вершину x1. Аналогично - ?(у) = 2·5 и т.д. Суммарная сложность всех вершин и дает сложность дерева Дi:
    ?(Д1) = 2·7+2·5 + 2·3 = 30, соответственно
    ?(Д2) = 3·7+3·4 = 33,
    ?(Д3) = 2·7+2·3+2·3 = 26 [1, c. ............